Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Формулу для скалярного произведения векторов можно записать в виде

.

 

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, помноженному на алгебраическую проекцию другого вектора на направление первого.

Скалярное умножение нельзя распространить на случай трех сомножителей. Действительно, скалярное произведение двух векторов  и  есть число и если это число умножить на вектор , то в произведении получим вектор

 

 

коллинеарный с вектором

Свойства скалярного произведения векторов:

     

если

1)

2) ;

3)

Если рассматривать векторы в декартовой системе координат, то скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов

 

Используя полученное равенство, можно записать формулу для вычисления угла между векторами

 

Рассмотрим пример. Найти если

 

 

 

Так как

 

Рассмотрим пример. Найти угол между векторами  и если

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим пример. Найти скалярное произведение

 если

 

 

 

Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме

Векторное произведение векторов  и  называется вектор  удовлетворяющий следующим условиям:

1) модуль вектора  равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  

 

 

2) направление вектора   перпендикулярно плоскости параллелограмма построенного на векторах  и ;

3) векторы ,  и   после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты

Свойства векторного произведения векторов.

1) Векторное произведение не обладает переместительным свойством

2) Коллинеарность ненулевых векторов если

или или

3) Сочетательное свойство

 

4) Распределительное свойство

 

Если заданы векторы в декартовой системе координат, то их векторное произведение находят следующим образом

 

Рассмотрим пример. Найти векторное произведение двух векторов

 

 

Применение векторного произведения векторов к решению задач

Площадь параллелограмма построенного на векторах  вычисляется по формуле

 

 

 

Площадь треугольника построенного на векторах  вычисляется по формуле

 

 

Рассмотрим пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках

Найдем координаты векторов  и , на которых построен треугольник

 

 

Векторное произведение векторов  и

 

 

Вычислим площадь треугольника