Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от данной точки до данной прямой

 

Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.

Если прямые  и  заданы уравнениями с угловыми коэффициентами     и       , то угол  между ними вычисляется по формуле                                                                                                                       (8)

 

 

 

                                                   Рисунок 10

 

Условие параллельности двух прямых: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т.е.

                                                                                                      (9)

 

 

                                                   Рисунок 11

Условие перпендикулярности двух прямых: Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению, т.е.

                                                                                                  (10)

 

                                                               Рисунок 12

 

Если прямые  и  заданы общими уравнениями ,  и , ,то величина  угла между ними вычисляется по формулам ,  .                      (11)

 

                                                   Рисунок 13

 

Условие параллельности двух прямых: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные вектора коллинеарны, т.е.

(  или )                                                      (12)

 

                                                   Рисунок 14

Условие перпендикулярности двух прямых: Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные вектора перпендикулярны, т.е. ( )                    (13)

 

                                                   Рисунок 15

 

Для нахождения общих точек прямых  и  необходимо решить систему уравнений

           или                                    (14)

При этом:

если , то имеется единственная точка пересечения прямых;

если  - прямые  и  не имеют общей точки, т.е. параллельны;

если  - прямые имеют бесконечное множество общих точек, т.е. совпадают.

 

 

                                         Рисунок 16

 

Расстоянием  от точки  до прямой  называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние  определяется по формуле

                                                                                           (15)

Расстояние от точки  до прямой  вычисляется по формуле

                                                                             (16)

 

 

                                                   Рисунок 17

 

 

Вопросы для самоконтроля

1 Запишите уравнение прямой , проходящей через две различные точки  и .

2 Запишите общее уравнение прямой (изобразите прямую на плоскости). Чем задается прямая заданная общим уравнением?

3 Укажите взаимное расположение двух прямых на плоскости, прямые заданы через угловые коэффициенты.

4 Запишите уравнение прямой  проходящей через  с угловым коэффициентом .

5 Укажите способы взаимного расположения двух прямых на плоскости, если прямые заданы общими уравнениями.

6 Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

7 Выведите формулу расстояния от точки  до прямой : .

8 Запишите уравнение прямой , проходящей через точку  с направляющим вектором .

9 Выведите нормальное уравнение прямой . Укажите связь общего уравнение прямой с нормальным уравнением.

10 Запишите параметрическое уравнение прямой на плоскости (изобразите прямую).

11 Выведите уравнение прямой , проходящей через  с нормальным вектором .

12 Запишите уравнение прямой  с угловым коэффициентом  и расстоянием .

13 Запишите уравнение прямой в отрезках (изобразите прямую на плоскости).

14 Дано уравнение  Чем задается данная прямая?

15 Дан треугольник АВС. Координаты точек: А (2; -4), В (-2; –1), С (2;0). Найти уравнение сторон треугольника АВС

16 Дан треугольник АВС. Координаты точек А (2; -4), В (-2; –1), С (2;0). Найти уравнение медианы ВМ, опущенной из вершины В на сторону АС и уравнение высоты ВК.

17 Составить уравнение прямой , проходящей через точку М (1; 3) и направляющий вектор

18 Составить уравнение прямой , проходящей через точку Р (3; -2) и нормальный вектор .

19 Найти расстояние от точки А (2; 1) до прямой : .

20 Даны точки А(2,-1) и В(-3,4). Найти координаты точки С, которая является серединой отрезка АВ.

 

Практическое занятие № 1

Уравнение прямой. Способы задания прямой. Взаимное расположение прямых

 

Задача 1  Построить и составить уравнение прямой :

а) , ;         б) , ;

в) , ;      г) , ;

д) , ;           е) т. , ;

ж) проходящей через 2 различные точки  и ;

з) проходящей через точку  перпендикулярно прямой , проходящей через точки  и , где , ;

и) проходящей точка  параллельно прямой , проходящей через точки  и , где , ;

к) проходящей через точку  и направляющий вектор ;

л) проходящей через точку  с нормальным вектором .

 

Решение. а) Так как  (  - ордината точки пересечения прямой с осью ) и (  - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

,

.

 

Ответ.                                                                       Рисунок 18

б) Так как  (  - ордината точки пересечения прямой с осью ) и  (  - угол, который прямая образует с положительным направлением оси ). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

,

.

 

 

        

 

 

 Ответ.                                                                    Рисунок 19

 

 

в) Так как ( - расстояние, которое отсекает прямая на оси ) и , т.е. прямая перпендикулярно оси .

 

                                                       

Ответ.                                                             Рисунок 20

 

 

г) Так как , . Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом .

.

 

Ответ.                                                                Рисунок 21

 

 

д) Так как ,  (  - угловой коэффициент прямой). Воспользуемся формулой уравнением прямой с угловым коэффициентом

 

      .

	O
			2 3

 

 

Ответ.                                                           Рисунок 22

 

е) Так как дана точка  лежащая на прямой и угловой коэффициент , воспользуемся формулой

, ,

.

 

 

Ответ.                                                           Рисунок 23

        

ж) Уравнение прямой, проходящей через две различные точки  и  выглядит следующим образом:

 

.

 

 

             Рисунок 24

 

.                                                                                   

 

 

Ответ.                                                                        

з) Уравнение прямой, проходящей через т.  перпендикулярно прямой , где ,  выглядит следующим образом:

Составим уравнение прямой :

.

.

Уравнение : . Угловой коэффициент прямой : . Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению, т.е. . Воспользуемся формулой .

 

Ответ.                                                               Рисунок 25                                                 

 

 

и) Уравнение прямой  составили в предыдущем примере : .

Так как по условию две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.  угловой коэффициент для нашей прямой будет тоже равен 2.

,

.

 

 

Ответ.                                                                Рисунок 26

                    

 

 к) Уравнение прямой, проходящей через точку  и направляющий вектор  задается уравнением: .

 

 

Ответ.                                                            Рисунок 27

 

 

л) Общее уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором , выглядит следующим образом: . Таким образом, уравнение прямой, проходящей через т.  с нормальным вектором ,  будет следующим:

,

.

 

 

Ответ.                                                                  Рисунок 28

 

Задача 2 Определить взаимное расположение прямых:

а) , ;          б) , ;

в) , ,   г) , .

 

Решение. а) , .

1 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы через угловые коэффициенты. От общего уравнения прямой   

перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент

 и воспользуемся формулой

2 способ. Найдем угол между двумя прямыми, если прямые заданы в общем виде: .

,  Воспользуемся формулой .

Ответ.

б) , .

1 способ. Аналогично, от общего уравнения прямой   

перейдем к уравнению прямой через угловой коэффициент  : .  Угловые коэффициенты противоположны по знаку и обратны по значению или . Следовательно, прямые перпендикулярны, т.е. угол между ними .

2 способ. Прямые заданы в общем виде . Найдем скалярное произведение векторов  и :  нормальные вектора  и  перпендикулярны  прямые пересекаются под углом .

Ответ.

в) , .

1 способ. Прямые заданы в общем виде , . Перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой через угловой коэффициент 

и найдем угловые коэффициенты прямых

Угловые коэффициенты равны, т.е.

 следовательно, прямые параллельны.

 

2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов  и : . Так как координаты векторов  и  пропорциональны, то вектора коллинеарны .

Нормальные вектора коллинеарны, следовательно, прямые параллельны.

 

Ответ. Прямые параллельны

г) , .

1 способ. Перейдем от общего уравнения прямой   

к уравнению прямой через угловой коэффициент и найдем угловые коэффициенты прямых 

, ; ,

Следовательно, прямые совпадают, так как  и .

2 способ. Так как прямые заданы в общем виде , то запишем координаты нормальных векторов  и : . Так как координаты векторов  и  пропорциональны и отношение свободных членов тоже равно , т. е. . Таким образом, справедлива формула  прямые совпадают.

Ответ. Прямые совпадают

 

Задача 3 При каких значениях  и  две прямые ,

а) параллельны;

б) совпадают;

в) имеют общую точку.

Решение. Прямые на плоскости могут быть либо параллельными, т.е. ; либо совпадать ; либо пересекаться  

а) ,

. ;. .

б) прямые совпадают тогда и только тогда, когда .

в) При  и  прямые имеют общую точку.

Ответ. а) при  и  прямые параллельны;

б) при  и  прямые совпадают;

в) при  и  прямые имеют общую точку

 

Задача 4 Привести общее уравнение прямой к нормальному виду:

а) ;      б) ;    в) .

Решение. а) Прямая задана в общем виде  Приведем к нормальному виду Найдем нормирующий множитель . Так как , то . Умножим общее уравнение на нормирующий множитель .

 

б) ,

Так как , то : .

 

в) , . Так как , то : , .

 

Ответ. а) ;    б) ;       в)

Задача 5 Вычислить расстояние  между прямыми:

а) , ; б) , .

 

Решение. а)Исследуем данные прямые как они расположены друг относительно друга , , .

Так как  прямые параллельны. Найдем расстояние между параллельными прямыми. На прямой  найдем точку; пусть , тогда . Точка .

По формуле , найдем расстояние от точки , т.е.  до прямой , т.е. .

.

 

б) Исследуем расположение данных прямых  и .

,           ,

Используя формулу

получим  Следовательно, прямые совпадают и расстояние между ними равно нулю ().

 

Ответ. а) ;         б)

Задача 6 При каких значениях  следующие пары прямых  и : а) параллельны; б) перпендикулярны: :  и : ;

Решение. 1 способ. а)  и .

Две прямые  и  параллельны (), если нормальные вектора  и  коллинеарны. , .

б) Если две прямые  и  перпендикулярны (), то нормальные вектора  и  ортогональны : , , .

2 способ. Запишем уравнения прямых через угловые коэффициенты.

а) ,   и ,

Прямые , если угловые коэффициенты прямых равны. Приравняем угловые коэффициенты прямых .

б) Используем признак перпендикулярности двух прямых, если прямые заданы в общем виде. Прямые  перпендикулярны, если угловые коэффициенты прямых противоположны по знаку и обратны по значению ,

 

Ответ. а) 4; б)

Задача 7 Через точку пересечения прямых ,  проведена прямая, параллельная прямой .

 

Решение. Найдем точку пересечения прямых  и . Решим систему линейных уравнений

Точка пересечения двух прямых . Так как прямые параллельны, то нормальные вектора коллинеарны: .

 - уравнение прямой, проходящей через точку  с нормальным вектором .

 

Ответ.

 

Задача 8 Найти координаты точки , симметричной точке  относительно прямой .

 

                                                   Рисунок 29

 

Решение. Найдем уравнение прямой , проходящей через точку  и перпендикулярной данной прямой  по формуле : , .

Так как точка  лежит на , то ее координаты удовлетворяют уравнению , т.е. .

Найдем расстояние от точки  до прямой .

.

Найдем точку пересечения двух прямых:

.

Точка .

Найдем расстояние , которое равно :

.

Решим систему уравнений:

,

,

 

Ответ.

Задача 9 Определить при каком значении  три прямые , ,  будут пересекаться в одной точке.

Решение. Для того, чтобы найти при каком значении  три прямые будут пересекаться в одной точке, необходимо решить систему уравнений:

 

Ответ.

Домашнее задание № 1

 

1 Даны вершины : , ,

а) уравнения сторон , , ;

б) составить уравнения прямых , проходящих через вершины  треугольника