Решение системы линейных алгебраических уравнений

Цель работы: Освоение методики решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью пакета Mathcad.

Задание: Решить систему уравнений

7 x ₁ – x ₂ – 4 x ₃   = 2;

 -6 x ₁ + 6 x ₂ + x ₃ = 1;

 -4 x ₁ + x ₂ + 5 x ₃ = 2, т.е.  найти значения x _1, x _2, x _3.

 

Методика выполнения работы

 

В начале работы требуется обозначить переменные. Примим следующие обозначения:

A – матрица коэффициентов системы;

B – вектор свободных членов;

X – вектор результатов решения.

 

1. Выведите на экран панели инструментов, необходимые для работы.

Для этого:

· Выполните View ®Toolbars ®Math;

· щелкните левой кнопкой мыши на пиктограмму этой панели Матрицы.

 

2. Задайте матрицу А коэффициентов системы:

· в левом верхнем углу рабочего поля окна документа щелкните левой кнопкой мыши;

· наберите прописными буквами ORIGIN:=1, чтобы начать индексацию результатов решения системы с номера 1 (в противном случае нумерация индексов будет начинаться с нуля);

· щелкните левой кнопкой мыши в рабочей области окна в месте расположения матрицы;

· введите с клавиатуры имя матрицы А и нажмите клавишу < двоеточие>;

· щелкните мышью на пиктограмме с изображением стилизованной матрицы на панели Матрицы;

· задайте размер матрицы А 3×3;

· нажмите кнопку < OK >.

На экране появится заготовка для матрицы: ;

 

· ведите значения элементов матрицы: мышью установите курсор на верхнем левом черном прямоугольнике матрицы и введите значение 7;

· Нажмите клавишу <Tab>. Курсор переместится на одну ячейку вправо, затем последовательно введите значения

                  7 -1 -4

                -6   6 1

                -4 1 5;

· нажмите <Enter>.

                                                                                                         

3. Аналогичным образом введите вектор B –  матрица размером 3×1: 2                                                                                                                                1

                                                                                                                        2.

 

4. Создайте обратную матицу А ^-1:

 Введите с клавиатуры А. Нажмите комбинацию клавиш <Shift>+<6> и введите –1. Дважды нажмите клавишу «стрелка вправо». Наберите символ “ = ”.

5. Для нахождения корней системы линейных уравнений требуется вычислить определитель.

 Для этого надо набрать det = ï А ï, используя соответствующую пиктограмму панели Матрицы. Выведите на экран полученное значение, набрав det = и нажав <Enter>. Появится запись det = 105. Если определитель отличен от нуля, то система имеет однозначное решение.

 

6. Чтобы найти вектор X, выполните следующее:

· введите с клавиатуры X: A ^-1;

· нажмите два раза клавишу вправо ® и наберите * B;

· нажмите клавишу <Enter>. На экране появится X:= A ^-1× B.

 

7. Для отображения на экране результата решения – матрицы 3×1 – введите с клавиатуры X = и нажмите клавишу <Enter>. Убедитесь, что все компоненты вектора X равны единице.

 

8. Чтобы вывести на экран значения X ₁, X ₂, X ₃, выполните следующее:

· введите с клавиатуры X [1=, нажмите <Enter>. На экране появится X ₁=1;

· таким же образом получите значения остальных корней.

Полученный в результате выполнения данной работы документ Mathcad показан на рис.6.3.

 

 

Рис.6.3. Документ Mathcad, полученный после выполнения лаб. работы № 2

 

 

Лабораторная работа № 3

Построение графиков функций

 

Цель работы: Освоение методики построения графиков функций в декартовой системе координат с помощью пакета Mathcad.

 

Задание: построить графики функций f(x)= и g(x)=  при изменении x от -10 до 10 с шагом 0.25.

Методика выполнения работы

 

1.  Выведите на экран панели управления Графическая и Арифметическая.

2.  Установите курсор на рабочем поле и введите с клавиатуры f(x):-4/ x. Нажмите клавишу <Enter>. На экране появится f(x)= .

3. Формирование вектора значений: введите с клавиатуры x:-10,-9.75;10. На экране появится . Таким образом x будет изменяться от  -10 до 10 с шагом 0.25.

4.  Щелкните мышью в предполагаемую точку расположения верхнего левого угла рисуемого графика. Затем щелкните на 1-ой пиктограмме в верхнем ряду панели Графическая (или нажмите комбинацию клавиш <Shift>+<2>). На экране появятся заготовки графика – два вложенных прямоугольника с черными квадратиками у левой и нижней сторон.

5. Заполните заготовку графика именем функции и именем аргумента:

· щелчком мыши установите курсор в черный квадратик у левой стороны

 прямоугольника;

· наберите f(x);

· щелчком мыши установите курсор в черный квадратик у нижней

 стороны прямоугольника;

·  наберите x;

·  нажмите <Enter>. На экране появится график

                                

6. Для оформления графика координатными осями выполните следующее:

·  дважды щелкните мышью на графике – появится диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Plot;

·  выберите вкладку X - Y Axes (Оси X - Y);

·  в поле выбора Axes Style (Стиль осей графика) нажмите кнопку Crossed (Пересечение) для представления графика с изображением осей координат;

·  в поле X-Axis (Ось X) уберите флажок Auto Grid (Авто сетка), в поле ввода Number of Grids (Размер сетки) введите число 5, что означает разметку оси X;

·  в поле Y-Axis (Ось Y) уберите флажок Auto Grid (Авто сетка), в поле ввода Number of Grids (Размер сетки) введите число 4.

7. Измененный график появится на экране.

8. Чтобы добавить новый график к существующему:

·  установите курсор на рабочем поле в строке справа от f(x)= ;

·  введите с клавиатуры: g(x):1/ x;

·  нажмите клавишу <Enter>. На экране появится g(x)= ;

·  выделите график;

·  щелкните мышью на графике функции. Установите курсор справа от надписи на графике f(x);

·   наберите на клавиатуре запятую. Курсор перейдет на следующую строку;

 наберите на клавиатуре g(x). Нажмите клавишу <Enter>. На экране появится график

     

                    

                                      

· линию графика g(x) изобразите по своему усмотрению, используя диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Plot. В диалоговом окне выберите вкладку Traces (След).

В поле Color (Цвет) выберите цвет для обоих графиков (trace 1 и trace 2), в поле Type (Тип) – тип графика.

В приведенном ниже примере для f(x) выбран цвет red (красный), тип linnes (линия), поле Weight (Толщина) – 3. Для g(x) –blu (синий), тип – lines, поле Weight – 3. Axes Style (Стиль осей графика)– Crossed (Пересечение). На экране появится график в таком виде:

 

                               

 

Лабораторная работа № 4

Решение уравнений

 

Цель работы: Освоение методики решения нелинейных уравнений с помощью пакета Mathcad.

 

Задание № 1: Найти корни уравнения f(x)=0, где f(x)=  и построить график f(x).

Методика выполнения работы

 

1.  Воспользуйтесь пиктограммой Solve на панели инструментов Аналитические вычисления. Нажмите кнопку, на экране появится следующий шаблон: .

2.  Щелкните на правую сторону первого квадратика и наберите f(x):

x ^4-4* x ^3+4* x ^2.

3. Аналогично во втором квадратике наберите аргумент функции x.

4.  Нажмите клавишу <Enter>. На экране появится решение уравнения в следующем виде:

                         .

 

Получены 4 действительных корня. Простая подстановка показывает, что они удовлетворяют уравнению.

5.  Для построения графика задайте явный вид f(x): .

6.  Задайте диапазон изменения x и его шаг так, чтобы корни уравнения попали в заданный диапазон. Пусть x изменяется от 0 до 3 с шагом 0.1. Будем иметь

7. Щелкните мышью в предполагаемую точку расположения верхнего левого угла рисуемого графика. Затем щелкните на 1-ой пиктограмме в верхнем ряду панели Графическая (или нажмите комбинацию клавиш <Shift>+<2>). На экране появятся заготовки графика – два вложенных прямоугольника с черными квадратиками у левой и нижней сторон.

8. Заполните заготовку графика именем функции и именем аргумента. Нажмите клавишу <Enter>.

9. Оформите график координатными осями с помощью диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (дважды щелкните мышью на графике).

10. Окончательно будем иметь следующий график:

 

                   

Задание № 2: Определить корень нелинейного уравнения  и построить график функции.

 

Методика выполнения работы

 

1. Сформируйте выражение для f(x). В нашем случае оно будет иметь вид:

  .

2. Далее все делается аналогично заданию № 1, начиная с 1-го пункта:

  .

Корень уравнения равен ~1.998.

 

 .        Задание f(x).

 

 .                                   x изменяется от 0 до 6 с шагом 0.2.

             

 

            

               

                                     График функции f(x)

 

 

Задания для самостоятельной работы

Задание №

1. Вычислить предел: ; ; .

 

2. Найти производные: ; .

 

3. Найти:  ; ; .

 

4. Вычислить:  ;  ;  ; .

 

Задание № 2 Решить систему линейных уравнений:

1. 12 x ₁ – 20 x ₂ + 5 x ₃ = 5              2. 20 x ₁ – 2 x ₂ + 4 x ₃ = 3                       

3 x ₁ + 2 x ₂ + 5 x ₃ = 4             30 x ₁ + 2 x ₂ + 5 x ₃ = 4 

2 x ₁ - 8 x ₂ + 5 x ₃ = 5               2 x ₁ - 6 x ₂ + 5 x ₃ = 5

 

Задание № 3 Построить график функции:

1. , x изменяется в диапазоне 0.1 до 0.6 с шагом 0.001.

 

2. , x изменяется в диапазоне 0.2 до 1.5 с шагом 0.01.

 

3. , x изменяется в диапазоне 0 до 2 с шагом 0.2.

 

Задание № 4  Определить корень нелинейного уравнения:

 

1. .  

 

2. .

 

3. .          

 

4. .