Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение числового ряда. Сходимость
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами. Пусть задана бесконечная числовая последовательность , , …, , … Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида . (1.1)
Числа называются членами ряда, – общим или n – м членом ряда. Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру
Пример 1.1. Пусть . Ряд
(1.2)
называется гармоническим рядом.
Пример 1.2. Пусть , Ряд
(1.3) называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд. Пример 1.3. Пусть = . Ряд (1.4)
называется рядом геометрической прогрессии. Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичныхсумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n - й частичной суммой, т. е.
, , , ……………………………. , (1.5) ……………………………. Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может: 1) иметь конечный предел; 2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности). Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е. В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется
.
Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы. Таким образом задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров. Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму. Найдем n -ю частичную сумму данного ряда . Общий член ряда представим в виде .
Тогда
Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:
Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд
(1.6)
Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.
Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
(1.7)
Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится. Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой
. Рассмотрим случаи: 1) Тогда и . Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 2) . Тогда и .
Следовательно, ряд расходится. 3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем
(1.8) Пример 1.8. Найти сумму ряда
Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует
.
Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-26; просмотров: 46; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.181.145 (0.017 с.) |