Уравнения с разделяющимися переменными

 

Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде

.

Если к тому же

,

то

.                              (6)

Пусть в уравнении (6) выполняются условия:

,

тогда оно примет вид

.                          (7)

Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.

Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим

                              (8)

Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл

                           (9)

Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции  и . Пусть, например, . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение . Аналогично, если , то  является решением уравнения (7).

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Преобразуем уравнение:

или

,

при этом . Интегрируя уравнение, получим

или

  

К этому решению нужно добавить решение вида , а решение вида   входит в общее решение при . Окончательно, имеем

Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:

Разделим переменные:

Интегрируя, получим

или .

Если известна начальная масса M ₀ при , тогда

и .

Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t ₁ масса вещества стала равной M ₁. Тогда

 или    

Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.

 

 

Однородные уравнения

 

Определение 1. Функция  называется однородной функцией, если  выполняется .

Например, функция   является однородной, так как

.

Определение 2. Уравнение вида  называется однородным уравнением, если  однородная функция.

Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.

По условию . Положим в этом тождестве , тогда

и  уравнение примет вид

.

Сделаем замену  и .

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

или .

Интегрируя его, а  затем, подставляя , находим решение.

Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решением   или .

Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , если подкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.

Если  - текущая точка         у

кривой, то по условию задачи,

получаем уравнение                                                                   

                                                у

Получили однородное урав-                                 

 

нение, поэтому сделаем замену                 О  А       В             х

и .

Тогда уравнение примет вид

.

Разделяем  переменные

и интегрируем

.

Выполнив обратную замену , имеем

.

Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты

находим  и получим  искомое уравнение кривой

.

2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)

 

Определение 3. Уравнение вида , где  и  непрерывные на   функции, называется линейным.

Его решение будем искать в виде

.                                           (1)

Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим

.                                      (2)

Функцию  выберем из условия

.

Проинтегрируем это уравнение 

.

Тогда уравнение (2) примет вид

.

Окончательно, имеем

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение ищем в виде . Тогда для функции  получаем уравнение

а для функции  -

Окончательно, имеем

.

 

Уравнения Бернулли

 

Определение 4. Уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Отметим, что при  оно становится линейным, а при  - уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.

Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно,

.

Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Разделим данное уравнение на  и получим уравнение Бернулли

.

Здесь . Решение ищем в виде . Тогда  

.

Для функции  получаем уравнение

,

а для функции  -

Проинтегрируем это уравнение, тогда .

Таким образом, общее решение имеет вид

.