Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные свойства числовых рядов
Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд. Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)
Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. (2.1)
Доказательство теоремы следует из того, что , и если S – сумма ряда (1.1), то
Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится. Следствие (Достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд
.
Для этого ряда
Следовательно, данный ряд расходится. Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости. Для ряда (1.6) предел для ряда (1.7) предел не существует.
Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).
Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.
Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды , сходятся, то и ряд сходится и его сумма равна т. е. .
Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.
Пример 2.3. Вычислить сумму ряда
.
Общий член ряда представим в виде Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии
Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии. Для первого ряда поэтому
.
Для второго ряда поэтому
Окончательно имеем
.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-26; просмотров: 48; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.27.155 (0.008 с.) |