Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 11Следующая ⇒

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ α; 0 ≤ y ≤ b;

U_xx+U_yy=f (x,y)  ,                                        (12.7)

 (ГУ) U_r= φ (x,y)  .                                       (12.8)

Выбрав шаги по времени и по координатам, строим сетку

x_l = l · h; x ₀ = 0; x_l = l · h; x_n = α; y_J = J · τ; y ₀ = 0; y_m = b

где         t = 1, 2 ,….,n; J = 1, 2 ,……., m.

Заменяя в каждом внутреннем узле (x_l, y_J) производные конечными разностями по формулам (12.4), получаем конечно-разностные уравнения

 ,                 (12.9)

U _{0, J} = φ (0, y_J) = φ _{0, J}; U_{n , J} = φ (α, y_J) = φ_{n , J},                    (12.10)

U_{l , 0} = φ (x, 0) = φ_{l , 0}; U_{l , m} = φ (x, b) = φ_{l , m},                         (12.11)

где t = 1, 2 ,…., n; J = 1, 2 ,……., m.

Уравнения (12.9) вместе с условиями (12.10)-(12.11) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно U_{l , J}. Число неизвестных и число уравнений в системе равно числу внутренних узлов сетки. Схема узловых точек для уравнений (12.9) изображена на рис. 12.1.

Если   h = τ    и J_{l , J} = 0, то конечно-разностные уравнения имеют вид

             (12.12)

Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности

U_xx = U_t; 0 ≤ x ≤ 1; t ≥ 0;

                        (НУ) U (x, 0) =4 · x · (1 -x);

(ГУ) U (0 ,t) =U (1 ,t) = 0

методом сеток с точностью до ε = 0.001 на первых трех временных уровнях, если шаг по координате Δ x = h = 0,1, по времени Δ t = τ = 1/600.

Решение. Для вычисления U_{l , J} воспользуемся системой конечно-разностных уравнений (12.9) при g = 0:

=  ( + )+  ,              (12.13)

(НУ) U_{l , 0} = 4 · x_l · (1- x_l); l = 1, 2 ,…., 10,                     (12.14)

 (ГУ) U _{0, J} = U _{10, J} = 0; J = 0,1,2.                                 (12.15)

Составим таблицу значений U_{l , J}  (табл. 12.1).

Таблица 12.1

В силу симметрии начальных  и краевых условий относительно оси   x = 0,5 решение U_{l , J} будет симметричным относительно этой же оси.

Это позволяет вести расчеты для t = 1, 2 ,…., 5, а для остальных значений следует заполнить таблицу, исходя из свойства симметрии:

U _{0, J} = U _{10, J}; U _{1, J} = U _{9, J}; U _{2, J} = U _{8, J}; U _{3, J} = U _{7, J}; U _{4, J} = U _{6, J}   .

Начальная строка этой таблицы (J = 0) заполняется на основании зaданного начального условия (12.14).

В первый (l = 0) и последний (l = 10) столбцы вписываются данные граничных условий (12.15). Остальные строки таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (12.13). На первом шаге

U_{l , J} = (1/6) ·  .

Например,

U _1,1 = (1/6) ·  = (1/6) · (0,640+4∙0,360) = 0,347.

На втором шаге

U_{l ,2} = (1/6) ·  .

Пример 2. Применяя метод сеток с шагом h = τ = 1/3, найти решениеуравнения Лапласа в квадрате с вершинами А (0,0), В (0,1), С (1,1), D (1,0), удовлетворяющее краевым условиям

U (0 ,y) = 30 · y; U (x, 1) = 30 · (1 -x ²); U (1 ,y) = 0; U (x, 0) = 0.

Решение. Конечно-разностные уравнения для уравнения Лапласа при                h = τ  = 1/3имеют вид:

U _{0, J} = 0,25 · ,               (12.16)

     (ГУ)    U _{0, J} = 30 · J · h; U _{3, J} = 0 ;                                   (12.17)

 (НУ)  (U_{l, 0} = 0; U_{l, 3} = 30 · (1 - (l · h)²),                               (12.18)

где x = l · h, y = J · h, l = 1,2,3, J = 0,1,2,3.

Составим таблицу U_{l , J} (табл. 12.2)

Таблица 12.2

Первая и последняя строки этой таблицы получены из граничных условий (12.17), а первый и последний столбцы - из (12.18).

U _l,1, U _l,2, U _2,1, U _2,2 находимиз следующей системы линейных алгебраических уравнений, которые получены из расчетной формул (12.16):

.

ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 5

Вычислить значение интеграла

, , а = 0, b = 0, .

Выберем формулу для приближенного вычисления заданного определенного интеграла. Для чего найдем по формулам (9.4), (9.6), (9.10) число n точек разбиения отрезка [0,1] на частичные, которые обеспечат требуемую точность при вычислении по формулам прямоугольников, трапеций и парабол соответственно. А затем остановимся на той из приближенных формул, для которой число n будет наименьшим.

Чтобы воспользоваться формулами (9.4), (9.6), (9.10), вычислим и оценим первую, вторую и четвертую производные подынтегральной функции  на отрезке [0,1]:

, ,

,

и так как функция f (x) и ее производные убывают на отрезке [0,1], то

,

,

.

Найдем n. Для формулы прямоугольников из (9.4) получаем

.

Для формулы трапеций из (9.6) получаем

, .

Для формулы парабол из (9.10) получаем

; .

Таким образом, наименьшего объема вычислений при одинаковой точности потребует формула парабол (9.8) – n = 2 m = 8 (n должно быть четным), применяя которую и вычислим приближенно заданный интеграл.

По числу n = 2 m = 8 найдем шаг интегрирования .

Составим таблицу (табл.1.) значений подынтегральной функции в точках x_i = ih, , записывая ординаты с четными и нечетными номерами в разные столбцы. В последней строке таблицы запишем результаты суммирования по этим столбцам. Вычисление будем вести с четырьмя знаками после запятой, а окончательный ответ округлим до трех знаков после запятой.

Применяя формулу парабол (9.8), получим

Вычислим заданный интеграл по формуле Ньютона–Лейбница

.

Итак, требуемая точность вычислений достигнута.

Таблица 1

Суммы