Число итераций при использовании этого метода

 

 .

в). Метод Хорд.

Пусть имеем уравнение  , где  - непрерывная функция на  , имеющая непрерывные  и  .

Корень считается отделенным и находится на отрезке  , т.е.

 

Уравнение хорды проходящей через точку А ₀ и В (см. рис.5.1, рис.5.2)

 

Рис. 5.1

 

 

 

Рис. 5.2

имеет вид

 .

Найдем   х = х _1, для которого   y = 0

 .

Если корень нас не устраивает, то мы находим

 ;

 ;

...

 

 .

 

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3):

,  .

 

 

Рис. 5.3

 ,

 ,

...

 .

 

Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .

 

г). Метод Ньютона.

Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке [ a, b ], причем  и   непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке        [ a, b ].

Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f (x) заменяется касательной к этой кривой.

 

 

Первый случай (рис.5.4):

 

f (a) < 0, f (b) > 0, > 0, > 0(основная линия)

или

f (a) > 0, f (b) < 0, < 0, < 0(пунктирная линия).

Рис. 5.4

 

 

Проведем касательную к кривой y = f (x)  в точке B ₀

 

 .

Полагая y = 0, x = x _{1 ,} получим

 _,

 

 ,

...

 

 ^.

Второй случай (рис. 5.5):

 

f (a) < 0, f (b) > 0, > 0, < 0(основная линия)

 

или

f (a) > 0, f (b) < 0, < 0, > 0(пунктирная линия),

 

.

 

 

 

Рис. 5.5

 

Полагая y = 0, х = х ₁, получим

 _,  ,...,  ^.

 

При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [ a, b ], в котором знак функции совпадает со знаком  , т.е.

 , a = x _{0 .}

д). Модифицированный метод Ньютона.

Заключается в том, что вместо вычисления производной   на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение

 

 ,  .

 

Следовательно, итерационная формула имеет вид

 

 .

 

Значение  не обязательно должно быть постоянно. Равенство  позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.

 

Метод Рыбакова

Можно рассматривать этот метод как модификацию метода Ньютона. При замене  некоторым числом , где  – значение х на [ a, b ], при котором производная максимальна.

При  сходимость не нарушается, но замедляется.

Метод Рыбакова удобен для поиска всех корней уравнения f (x) = 0 на [ a, b ].

1. Задаем начальные значения х = х ₀ = а.

2. Для каждой последовательной итерации (n = 0, 1, 2, …) вычисляем

и проверяем условие x_n < b, если оно выполняется, то, значит, найдены все корни, в противном случае проверяем выполнение условия . Если оно не выполняется, то повторяем цикл с пункта 2  и переходим к пункту 3.

3. Задаем начальное приближение     и снова идем на пункт 2.

Метод наискорейшего спуска

 

 

Распространенным методом минимизации функций большого числа переменных является метод градиентного спуска. Последующее приближение получается из предыдущего смещением в направлении, противоположном градиенту функции F (x). Каждое следующее приближение ищется в виде

 .

Приведенное описание не определяет алгоритм однозначно, т.к. ничего не сказано о выборе параметра  . Его можно определять из условия минимума величины  .

В этом случае рассматриваемый метод называют методом наискорейшего градиентного спуска.

Для функции , соответствующей системе линейных уравнений с матрицей , задача нахождения минимума решается в явном виде

так как

и

 .

Обозначим  через  , т.е.

 

 .

 

Предположим, что  . Учитывая, что , вычислим   :

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 .

 

 

ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ

 

1. Математическая постановка задачи интерполирования.

В экономике и технике, часто приходится сталкиватьcя с необходимостью вычисления значений функции у = f (х) в точках, отличных от значения аргумента, фиксированных в таблице.

Подобные задачи практики формализуются как математические задачи интерполирования.

Пусть на отрезке [ a, b ]  задана функция у = f (х) своими n + 1 значениями ; ; …;  в точках x ₀, x ₁, …, x_{n ,}  которые назовем узлами интерполяции.

Требуется найти аналитическое выражение табулированной функции F (х), совпадающее в узлах интерполяции со значениями заданной функции,

 

y 0	y 1	…	yn- 1	yn
x 0	x 1	…	xn - 1	xn

 

т.е.

; ; …; .

 

Процесс вычисления значений функций в точках х, отличных от узлов интерполяции, называется интерполированием функции f (х).

Если аргумент х находится за пределами отрезка интерполирования     [ x ₀, x_n ], то задача определения значения функции в точке х называется экстраполированием.

Задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции f (х) для функции у = f (х), заданной своими n + 1 значениями, выбрать многочлен F_n (x) степени не выше n, такой, что

 

; ; …;  .

Многочлен F_n (x) удовлетворяющий этим условиям, называют интерполяционным многочленом, а соответствующие формулы – интерполяционными.

В случае, когда F (x) выбирается в классе степенных функций, интерполяция называется параболической.

 

При интерполировании возникает ряд задач:

 

1. Выбор наиболее удобного способа построения интерполяционной функции для каждого конкретного случая.

2. Оценка погрешности при замене f (x) интерполирующей функцией F (x) на отрезке [ a, b ].

3. Оптимальный выбор узлов интерполяции для получения минимальной погрешности.