Интерполяция и приближение сплайном

 

Для определенности будем говорить о приближении функции f (x) на [0,1]. Разобьем отрезок на части

 

 

 

 

и обозначим это разбиение через .

Назовем «сплайном»  порядка m функцию, являющуюся многочленом степени m на каждом из отрезков  , т.е.

 

 ,

 

при х _{n - 1}£ x £ x_n     удовлетворяющую условиям непрерывности производных до порядка m – 1 в точках х ₁, …, x_{n - 1:}

 

 

                                             (8.5)

при .

Всего имеется в распоряжении  неизвестных коэффициентов а _nm, и соотношения (8.5) образуют систему из  линейных алгебраических уравнений.

Другие уравнения для коэффициентов получают из условия близости сплайна к приближаемой функции и из некоторых дополнительных условий.

Приближение линейными сплайнами

 

Пусть m = 1.

Тогда общее число Q свободных параметров равно 2 N.

Поставим вопрос о построении сплайна  совпадающего с функцией f (x) в точках x ₀, x ₁ ,…, x_n.

 

Получим систему уравнений

 

 

 

Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов

 

 

 ,

 

отсюда находим

 

 

 Многочлен P_{n 1}(x) является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции     x_{n - 1}, x_n.

Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f (x) хорошо приближают не только саму функцию, но и ее производные.

 

 

ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Известно, что не для всякой функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, рассмотрим три приближенных формулы, с помощью которых численное интегрирование проводится с любой степенью точности.

 

Постановка задачи

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция y = f (x). Требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла

 

                                                                                           (9.1)

Если f (x) ≥ 0 при a ≤ х ≤ b, то интервал будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми х = a,     х = b и осью Ох (рис.9.1).

Воспользуемся этой интерпретацией определенного интеграла.                  

Разобьем отрезок [ a, b ] точками a = х ₀,  х ₁,..., х _n = b на n равных частей длины , так что x_i = a + ih, .

 

Величина h называется шагом интегрирования. Обозначим через               у ₀, у ₁, …, у _n   значения функции y = f (x) в точках   х ₀ , х ₁ ...., х _n соответственно, то есть y_i = f (x_i), .

 

Формула прямоугольников

Заменим площадь криволинейной трапеции a АВ b (рис. 9.2), численно равную интегралу (9.1), на сумму площадей левосторонних или правосторонних прямоугольников, то есть на y ₀ h + y ₁ h + … + y_{n -1} h или       y ₁ h + y ₂ h + … + y_nh. Тогда интеграл (9.1) приближенно выражается любой из формул:

,                              (9.2)

                                         (9.2')

 

Это формулы левосторонних и правосторонних прямоугольников.

Чем больше число n, тем меньше ошибка, совершаемая при вычислении на отрезке [ a, b ], то и для погрешности R_n формул прямоугольников справедлива следующая оценка:

                                         (9.3)

где . Если задана точность вычислений ε, то из (3) можно найти число разбиений n отрезка [ a, b ], которое обеспечит эту точность

                                   .          (9.4)

9.3. Формула трапеций. Естественно ожидать более точное значение интеграла (9.1), если данную кривую y = f (x) заменить не ступенчатой, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 9.3). Тогда площадь криволинейной трапеции aABb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами АА ₁, А ₁ А ₂, …, А _n-1 B. Так как площади этих трапеций соответственно равны

 

то для интеграла (1) получаем приближенную формулу

 

                   (9.5)

 

Это формула трапеций. Число n произвольно, но чем оно больше, тем с большей точностью будет получено значение интеграла (9.1). Если f "(x) существует и ограничена на отрезке [ a, b ], то погрешность R _n формулы (9.5) оценивается неравенством

              ,                                           (9.6)    

где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.6) можно найти число разбиений n отрезка [ a, b ], обеспечивающее эту точность

 

.    (9.7)

 

9.4. Формула парабол (Формула Симпсона). Разделим отрезок [ a, b ] на четное число равных частей n = 2 m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [ х ₀, х ₁] и [ х ₁, х ₂] и ограниченной заданной кривой   y = f (x),  заменим площадью параболической трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки М ₀ (х ₀, у ₀ ), М ₁ (х ₁, у ₁ ), М ₂ (х ₂, у ₂ ), и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 9.4). Аналогичным образом поступим и для других пар отрезков [ х ₂, х ₃], [ х ₃, х ₄], …, [ х _{2 m -2}, х _{2 m -1}], [ х _{2 m -1}, х_{2 m} ]. Площади построенных параболических трапеций соответственно равны

 

, , …, ,

 

а их сумма даст приближенное значение интеграла (9.1)

(9.8)

 

Это формула Симпсона. Здесь число 2 m точек деления отрезка [ a, b ] произвольно, но чем больше это число, тем точнее значение интеграла (9.1). Если f "(x) существует и ограничена на отрезке [ a, b ], то для погрешности R _nформулы (9.8) справедлива следующая оценка:

 

                              ,                                            (9.9)

где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.9) можно найти число разбиений 2 m = n отрезка [ a, b ], которое обеспечит эту точность

 

                                      .                                       (9.10)

 

ЗАМЕЧАНИЕ. В связи с трудностями оценки четвертой производной подынтегральной функции f (x), погрешность R _n совершаемую при вычислении определенного интеграла (9.1), по формуле (9.8), можно оценить по правилу Рунге

,

 

где J_n и J _{2 n} – приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле парабол, соответственно с шагом h и . За приближенное значение J интеграла (9.1), вычисленное по формуле парабол с поправкой Рунге, принимают 

 

.

 

 

ЛЕКЦИЯ 10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Невелико число типов дифференциальных уравнений, допускающих решение в квадратурах (сведение к дифференциальному уравнению с разделяющими переменными с последующим интегрированием). Многообразие видов уравнений, встречающихся при решении физических и технических вопросов, привело к созданию большого числа методов приближенного решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях. Все эти методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на три основные группы:

1. Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения;

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графиков.

3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Остановимся на численных методах.