Статистическое имитационное моделирование

       Суть статистического имитационного моделирования состоит в построении алгоритма имитирующего поведение элементов обслуживающей системы и взаимодействие между ними с учетом случайных факторов. На основе указанного алгоритма создается программа расчетов на ЭВМ, с помощью которой воспроизводится имитируемый процесс с учетом всех возможных ситуаций.

       При конструировании, испытаниях и эксплуатации автомобиля возникают многочисленные задачи, требующие знания количественных и качественных закономерностей. Н/п свойственных процессу движения автомобиля в различных дорожных условиях.

       Классические методы математики не всегда пригодны для исследования сложных систем. В связи с чем в последнее время получили распространение методы статистического моделирования реализуемые на ЭВМ (первоначально метод Монте-Карло).

       Поскольку модель, реализуемая с помощью метода статистического имитационного моделирования стохастическая, то для математического описания отдельных явлений процессов необходимо получить и обобщить статические (экспериментальные) данные и представить их в удобной для вычисления аналитической форме.

       Данный метод в качестве исходных уравнений использует законы распределения СВ. Для моделирования стохастической модели по методу Монте-Карло необходимо достаточно экономно строить последовательности чисел, соответствующих определенным законам распределения. Для этой цели используют несколько способов.

Способы получения псевдослучайных чисел с заданным законом распределения.

       Законы распределения являются исходным материалом для моделирования по методу статистического имитационного моделирования, то есть, зная их, можно получать последовательности СВ по произвольному закону распределения.

       Если одной из основных задач математической статистики является получение по статистическим даннымс закона распределения СВ, то решение обратной задачи – воспроизведение любого количества СВ на ЭВМ, соответствующих заданному закону – представляет основу метода Монте-Карло.

Получение равномерно распределенных чисел

       Имеется несколько методов пригодных для получения случайных чисел, но каждый из них должен быть статистически надежным и эффективным. При использовании стохастических моделей приходится многократно обращаться к случайным числам, равномерно распределенным в интервале от 0 до 1.

       Получение с помощью ЭВМ равномерно распределенных чисел возможно при помощи генератора случайных чисел, позволяющего на каждом такте работы ЭВМ в фиксированной стандартной ячейки памяти получить новое случайное число.

       Одним из способов получения псевдослучайных чисел является метод середины квадратов.

       ПРИМЕР. Пусть задано четырехзначное число от 0 до 1:х₁=0,9876. Возведем его в квадрат:

х²₁=0,97535376.

       Выберем четыре средние цифры:

Х₂=0,5353 и т.д.

       Метод середины квадратов обладает следующими преимуществами:

- высокая скорость генерирования любого количества случайных чисел (СЧ);

-качество в последовательности проверяется лишь один раз, с последующим многократным использованием при расчете сходных задач;

- простота и небольшая по объему программа на ЭВМ.

       Недостаток – ограниченность запаса псевдослучайных чисел.

       Однако, изменяя начальные значения можно получать достаточно большие последовательности чисел. Для получения равномерно распределенного числа в (а; в) справедливо соотношение:

х^*=а+х(в-а),

где х – случайно распределенное число в (0;1).

 

 

Метод Неймана

       Одним из наиболее универсальных способов получения псевдослучайных чисел с производным законом распределения является метод Неймана.

       Для получения СЧ по этому методу необходимо, чтобы возможные значения СВ не выходили за пределы некоторого ограниченного интервала (а; в), что не трудно осуществить для любого закона распределения, ограничив диапазон изменения СВ числовыми значениями а и в.

       Пусть имеется область, ограниченная осью абсцисс и графиком f(t), f_M – максимальная ордината. Выбираем значение k так, чтобы выполнялось неравенство kf_M<1. Пусть х₁ и х₂ равномерно распределенные СВ, причем х₁ распределено в интервале (а; в), х₂?(0;1). Если функция плотности вероятности, соответствующая величине х₁: kf(x₁)≥x₂ , то х₁ искомая СВ. Если последнее неравенство не выполняется, то пара х₁, х₂ отбрасывается и берутся следующие значения х₃ и х₄. Процесс будет повторяться пока не будет найдено требуемое число СВ.

       Каждую пару СЧ х₁ и х₂ можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости равномерно распределенных вдоль осей t и f(t) внутри прямоугольника а, а, в, в. Вероятность того, что случайная точка плоскости окажется в элементарном отрезке (t;t+∆t) пропорциональна плотности вероятности f(t).