Закон сохранения транспортного потока

ДАЛЕЕ ЗАДАЧА 1 и 2.

 

 

Основные понятия теории вероятности, используемые

 в задачах моделирования движения автомобилей.

 

Из основных понятий теории вероятности, прежде всего, рассматривается событие и его количественная характеристика (вероятность события). Под событием понимается любой факт, который может произойти, либо не произойти, в результате некоторого эксперимента, опыта или наблюдения при осуществлении определенного комплекса условий.

Например, время безотказной работы двигателя можно считать событием, прибытие автомобиля к перекрестку и т.д. Чтобы количественно сравнить между собой события по их степени возможности нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно само событие. Таким числом является вероятность события, которую отождествляют с опытным понятием относительной частоты или частости. Частость события называют статической вероятностью и определяют по формуле:

где m – число появлений исследуемого события,

n – общее число произведенных опытов.

Например из нескольких участков продольного профиля автодорог с твердым покрытием, проходящих по резко пересеченной местности выбирается один и определяется количество элементов с постоянным уклоном  В результате подсчета выявлено, что из общего количества различных уклонов равного 200 уклоны  встречались 28 раз.

частость.

Частость события носит случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частость события проявляет тенденцию стабилизироваться.

Таким образом, в качестве экспериментальной характеристики любого события естественно принимать его относительную частоту, представляющую собой отношение числа опытов, в которых данное событие появилось к числу всех произведенных опытов.

Для достоверного события, т.е. события которое обязательно происходит в результате опыта частость равна 1. Для невозможного события частость равна 0. Характерное для каждого события число около которого стремится стабилизироваться частость события при большом числе опытов называется вероятностью события.

Фундаментальным в теории вероятности является понятие случайной величины, играющей большую роль в приложениях. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное, но только одно значение, причем заранее неизвестное. Поскольку в теории вероятности и математической статистики оперируют массовыми явлениями, то случайная величина характеризуется возможными значениями и вероятностями этих значений. В практики выделяют два основных типа случайных величин дискретные и непрерывные. Дискретными называют случайные величины, которые принимают только отделенные друг от друга значения, причем можно их заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 1,2,3 и т.д.,для дорог 1 категории уклоны могут принимать значения ,

а для дорог 2 категории, еще, т.е. принимают значения кратные 0,01, которые можно рассматривать как целочисленные.

Чаще встречаются случайные величины другого типа – непрерывные, которые играют исключительно важную роль в технических приложениях. Непрерывной случайной величиной называется такая возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал числовой оси). Очевидно, что интервал может быть конечным или бесконечным. Например, углы открытия водителем дроссельной заслонки карбюратора, скорость движения автомобиля на заданном участке, ошибки измерений относят к непрерывным случайным величинам.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а их возможные значения соответствующими маленькими буквами:

Пусть событие А – наличие на автодороге дискретного значения уклона равного 0,06. Тогда вероятность этого события Р(А). Если продолжительность проезда по заданному участку дороги характеризовать непрерывной случайной величиной Т, то запись Р(0,8<T<1) будет читаться как вероятность того, что автомобиль будет преодолевать участок дороги за время от 0,8 до 1 часа.

Формы представления закона распределения случайной величины могут быть различными. Простейшей формой задания закона распределения случайной величины Х является ряд распределения или таблица вероятных значений:

       

Чтобы ряд распределения дискретных случайных величин имел более наглядный вид его часто изображают графически. С этой целью откладывают по оси абсцисс все возможные значения случайных величин, а по оси ординат соответствующие вероятность.

Для непрерывной случайной величины ряд распределений вообще построить нельзя. Это вызвано тем, что непрерывная случайная величина характеризуется бесчисленным множеством возможных значений, которые заполняют некоторый промежуток. Однако различные диапазоны возможных значений случайной величины являются неодинаково вероятными и для непрерывной случайной величины существует распределение не конкретных значений, а величин интервалов.

Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестности различных точек дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности. Плотностью распределения случайной величины в точке является предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+ х к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю.

Плотность распределения f(x) указывает на то как часто появляется случайная величина в некоторой окрестности точки Х при многократном повторении опытов. Кривая изображающая плотность распределения случайной величины называется кривой распределения.

Для количественной характеристики распределения непрерывной случайной величины используют вероятность события Р(X<x). Вероятность этого события является какой-то функцией распределения случайной величины F(x)=P(X<x), где F(x) называется интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

При решении многих практических задач часто возникает необходимость указать только отдельные числовые параметры называемые числовыми характеристиками случайной величины и характеризующие существенные особенности того или иного распределения. О каждой случайной величине необходимо знать ее некоторое среднее значение, около которого группируется возможное значение случайной величины или степень разбросанности этих значений относительного среднего. Важнейшей числовой характеристикой, определяющей положение случайной величины на числовой оси, является математическое ожидание М[x]=a, которое иногда называют средним значением случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х математическое ожидание определяется как:

Следовательно математическое ожидание для дискретной случайной величины есть сумма произведений возможных значений на их вероятности.

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины: .

В практике часто используется другая числовая характеристика случайной величины – среднее квадратическое отклонение:

Каждое исследование в области случайных явлений связано с экспериментом, опытными или статистическими данными. Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдений массовых явлений составляет предмет прикладной науки – математическую статистику, которая дополняет теорию вероятности. Одной из основных задач математической статистики является определение закона распределения случайной величины. Она включает следующие этапы:

1). Представление экспериментальных или статистических данных в форме статистического ряда.

2). Определение параметров закона распределения.

3). Проверка согласия теоретического и статистического распределения по критерию Пирсона

4). Построение графика теоретической кривой распределения, если это необходимо.

При моделировании движения автомобиля с использованием метода статистических испытаний применяют различные законы распределения случайных величин. Для наиболее распространенного нормального закона возможными значениями случайной величины являются все действительные числа как положительные, так и отрицательные. Кривые плотности вероятности нормально распределенной случайной величины симметричны относительно ординаты в точке x=a=M[X].

Нормальный закон распределения имеет место практически во всех случаях, в которых случайная величина Х образуется в результате суммирования очень большого числа случайных величин одного порядка малости.

 

 

       Моделирование находит применение во всех отраслях инженерной деятельности и в первую очередь в следующих ее областях: проектирование систем и их составных частей; планирование и анализ функционирования существующих систем; инженерный анализ и обработка информации; управление динамическими системами.

       В основе детерменированных моделей лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, например, скоростью и дистанцией между автомобилями в потоке. В стохастических моделях транспортный поток рассматривается как вероятностный процесс.

       Все модели транспортных потоков можно разбить на три класса: модели-аналоги, модели следования за лидером и вероятностные модели. В моделях-аналогах движение транспортных средств уподобляется какому-либо физическому потоку (гидро- и газодинамические модели).

       В моделях следования за лидером существенно наличие связи между перемещениями ведомого и головного автомобиля. По мере развития теории в моделях этой группы учитывалось время реакции водителя, исследовалось движение на многополосных дорогах, изучалась устойчивость движения.

       В вероятностных моделях транспортный поток рассматривается как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. В связи с жестким характером ограничений сети и массовым характером движения в транспортном потоке складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов загрузок по полосам дороги и т.д.

Транспортного потока

 

       Пропускная способность автодорог и улиц и их пересечений является важнейшим критерием, который характеризует функционирование и эксплутационное состояние путей сообщения.

       Изучение и обоснование этой характеристики явились первостепенными задачами, послужившими развитию моделирования транспортных потоков. Основы математического моделирования закономерностей дорожного движения были заложены в 1912г. профессором Г. Д. Дубелиром. Первая попытка обобщить математические исследования транспортных потоков в виде самостоятельного раздела прикладной математики, была сделана в 1963 г.Ф.Хейтом. Дальнейшие исследования и разработки в этой области нашли отражение в работах многих зарубежных и отечественных ученых. Нашедшие практическое применение в ОДД математические модели разделяются на две группы - детерминированные и вероятностные.

Стохастические модели.

Стохастические модели применяются для решения некоторых задач ОДД, когда необходимо располагать стохастическими характеристиками параметров транспортных потоков (н/п в зоне перекрестка). Исследованиями установлено, что для описания потоков сравнительно малой интенсивности, характеризующих вероятность проезда определенного числа ТС через сечение дороги применимо распределение Пуассона:

где вероятность проезда п–го числа автомобилей за время t; λ – основной параметр распределения (интенсивность авт/с); t – длительность отрезков наблюдения в с.; n – число автомобилей.

Практически для целей управления движением более необходимо располагать данными о характере распределения временных интервалов между следующими друг за другом ТС.

Если появление автомобилей характеризуется распределением Пуассона, то интервалы между автомобилями распределены по экспоненциальному закону:

где плотность распределения.

В транспортном потоке физически невозможно появление интервалов меньших, чем соответствующие длине типичного транспортного средства, поэтому более точным будет применение смещенного экспоненциального закона:

Упомянутые модели дают удовлетворительную сходимость с натуральными наблюдениями для однородных потоков, главным образом состоящих из легковых автомобилей. При смешанном потоке, а также воздействии некоторых внешних факторов может быть применено γ-распределение Эрланга (распределение к-го порядка):

Движущиеся автомобили в общем случае разделяются на свободнодвижущиеся и следующие за лидером. Свободнодвижущиеся автомобили не имеют препятствия со стороны других участников движения и распределение интервалов времени для них может быть принято по экспоненциальному закону:

где φ – доля свободнодвижущихся автомобилей.

Движение ТС по дорогам в потоке большой интенсивности и, особенно, в зоне пересечений может быть рассмотрено на основании теории массового обслуживания. Задачи, решаемые с помощью этой теории, обычно сводятся к определению максимального числа «заявок», а также определению очереди в системе по истечении определенного промежутка времени. Применительно к транспортной задаче это означает возможность определения пропускной способности пересечения, задержек автомобилей и возникающих перед перекрестком очередей. Под «заявкой» понимают появление в сечении дороги одного транспортного средства.

Метод Неймана

       Одним из наиболее универсальных способов получения псевдослучайных чисел с производным законом распределения является метод Неймана.

       Для получения СЧ по этому методу необходимо, чтобы возможные значения СВ не выходили за пределы некоторого ограниченного интервала (а; в), что не трудно осуществить для любого закона распределения, ограничив диапазон изменения СВ числовыми значениями а и в.

       Пусть имеется область, ограниченная осью абсцисс и графиком f(t), f_M – максимальная ордината. Выбираем значение k так, чтобы выполнялось неравенство kf_M<1. Пусть х₁ и х₂ равномерно распределенные СВ, причем х₁ распределено в интервале (а; в), х₂?(0;1). Если функция плотности вероятности, соответствующая величине х₁: kf(x₁)≥x₂ , то х₁ искомая СВ. Если последнее неравенство не выполняется, то пара х₁, х₂ отбрасывается и берутся следующие значения х₃ и х₄. Процесс будет повторяться пока не будет найдено требуемое число СВ.

       Каждую пару СЧ х₁ и х₂ можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости равномерно распределенных вдоль осей t и f(t) внутри прямоугольника а, а, в, в. Вероятность того, что случайная точка плоскости окажется в элементарном отрезке (t;t+∆t) пропорциональна плотности вероятности f(t).

ДАЛЕЕ ЗАДАЧА 1 и 2.

 

 

Основные понятия теории вероятности, используемые

 в задачах моделирования движения автомобилей.

 

Из основных понятий теории вероятности, прежде всего, рассматривается событие и его количественная характеристика (вероятность события). Под событием понимается любой факт, который может произойти, либо не произойти, в результате некоторого эксперимента, опыта или наблюдения при осуществлении определенного комплекса условий.

Например, время безотказной работы двигателя можно считать событием, прибытие автомобиля к перекрестку и т.д. Чтобы количественно сравнить между собой события по их степени возможности нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно само событие. Таким числом является вероятность события, которую отождествляют с опытным понятием относительной частоты или частости. Частость события называют статической вероятностью и определяют по формуле:

где m – число появлений исследуемого события,

n – общее число произведенных опытов.

Например из нескольких участков продольного профиля автодорог с твердым покрытием, проходящих по резко пересеченной местности выбирается один и определяется количество элементов с постоянным уклоном  В результате подсчета выявлено, что из общего количества различных уклонов равного 200 уклоны  встречались 28 раз.

частость.

Частость события носит случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частость события проявляет тенденцию стабилизироваться.

Таким образом, в качестве экспериментальной характеристики любого события естественно принимать его относительную частоту, представляющую собой отношение числа опытов, в которых данное событие появилось к числу всех произведенных опытов.

Для достоверного события, т.е. события которое обязательно происходит в результате опыта частость равна 1. Для невозможного события частость равна 0. Характерное для каждого события число около которого стремится стабилизироваться частость события при большом числе опытов называется вероятностью события.

Фундаментальным в теории вероятности является понятие случайной величины, играющей большую роль в приложениях. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное, но только одно значение, причем заранее неизвестное. Поскольку в теории вероятности и математической статистики оперируют массовыми явлениями, то случайная величина характеризуется возможными значениями и вероятностями этих значений. В практики выделяют два основных типа случайных величин дискретные и непрерывные. Дискретными называют случайные величины, которые принимают только отделенные друг от друга значения, причем можно их заранее перечислить. Например, количество автомобилей на заданном участке дороги может принимать только целочисленные значения 1,2,3 и т.д.,для дорог 1 категории уклоны могут принимать значения ,

а для дорог 2 категории, еще, т.е. принимают значения кратные 0,01, которые можно рассматривать как целочисленные.

Чаще встречаются случайные величины другого типа – непрерывные, которые играют исключительно важную роль в технических приложениях. Непрерывной случайной величиной называется такая возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток (интервал числовой оси). Очевидно, что интервал может быть конечным или бесконечным. Например, углы открытия водителем дроссельной заслонки карбюратора, скорость движения автомобиля на заданном участке, ошибки измерений относят к непрерывным случайным величинам.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а их возможные значения соответствующими маленькими буквами:

Пусть событие А – наличие на автодороге дискретного значения уклона равного 0,06. Тогда вероятность этого события Р(А). Если продолжительность проезда по заданному участку дороги характеризовать непрерывной случайной величиной Т, то запись Р(0,8<T<1) будет читаться как вероятность того, что автомобиль будет преодолевать участок дороги за время от 0,8 до 1 часа.

Формы представления закона распределения случайной величины могут быть различными. Простейшей формой задания закона распределения случайной величины Х является ряд распределения или таблица вероятных значений:

       

Чтобы ряд распределения дискретных случайных величин имел более наглядный вид его часто изображают графически. С этой целью откладывают по оси абсцисс все возможные значения случайных величин, а по оси ординат соответствующие вероятность.

Для непрерывной случайной величины ряд распределений вообще построить нельзя. Это вызвано тем, что непрерывная случайная величина характеризуется бесчисленным множеством возможных значений, которые заполняют некоторый промежуток. Однако различные диапазоны возможных значений случайной величины являются неодинаково вероятными и для непрерывной случайной величины существует распределение не конкретных значений, а величин интервалов.

Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестности различных точек дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности. Плотностью распределения случайной величины в точке является предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+ х к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю.

Плотность распределения f(x) указывает на то как часто появляется случайная величина в некоторой окрестности точки Х при многократном повторении опытов. Кривая изображающая плотность распределения случайной величины называется кривой распределения.

Для количественной характеристики распределения непрерывной случайной величины используют вероятность события Р(X<x). Вероятность этого события является какой-то функцией распределения случайной величины F(x)=P(X<x), где F(x) называется интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

При решении многих практических задач часто возникает необходимость указать только отдельные числовые параметры называемые числовыми характеристиками случайной величины и характеризующие существенные особенности того или иного распределения. О каждой случайной величине необходимо знать ее некоторое среднее значение, около которого группируется возможное значение случайной величины или степень разбросанности этих значений относительного среднего. Важнейшей числовой характеристикой, определяющей положение случайной величины на числовой оси, является математическое ожидание М[x]=a, которое иногда называют средним значением случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х математическое ожидание определяется как:

Следовательно математическое ожидание для дискретной случайной величины есть сумма произведений возможных значений на их вероятности.

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины: .

В практике часто используется другая числовая характеристика случайной величины – среднее квадратическое отклонение:

Каждое исследование в области случайных явлений связано с экспериментом, опытными или статистическими данными. Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдений массовых явлений составляет предмет прикладной науки – математическую статистику, которая дополняет теорию вероятности. Одной из основных задач математической статистики является определение закона распределения случайной величины. Она включает следующие этапы:

1). Представление экспериментальных или статистических данных в форме статистического ряда.

2). Определение параметров закона распределения.

3). Проверка согласия теоретического и статистического распределения по критерию Пирсона

4). Построение графика теоретической кривой распределения, если это необходимо.

При моделировании движения автомобиля с использованием метода статистических испытаний применяют различные законы распределения случайных величин. Для наиболее распространенного нормального закона возможными значениями случайной величины являются все действительные числа как положительные, так и отрицательные. Кривые плотности вероятности нормально распределенной случайной величины симметричны относительно ординаты в точке x=a=M[X].

Нормальный закон распределения имеет место практически во всех случаях, в которых случайная величина Х образуется в результате суммирования очень большого числа случайных величин одного порядка малости.

 

 

       Моделирование находит применение во всех отраслях инженерной деятельности и в первую очередь в следующих ее областях: проектирование систем и их составных частей; планирование и анализ функционирования существующих систем; инженерный анализ и обработка информации; управление динамическими системами.

       В основе детерменированных моделей лежит функциональная зависимость между отдельными показателями, например, скоростью и дистанцией между автомобилями в потоке. В стохастических моделях транспортный поток рассматривается как вероятностный процесс.

       Все модели транспортных потоков можно разбить на три класса: модели-аналоги, модели следования за лидером и вероятностные модели. В моделях-аналогах движение транспортных средств уподобляется какому-либо физическому потоку (гидро- и газодинамические модели).

       В моделях следования за лидером существенно наличие связи между перемещениями ведомого и головного автомобиля. По мере развития теории в моделях этой группы учитывалось время реакции водителя, исследовалось движение на многополосных дорогах, изучалась устойчивость движения.

       В вероятностных моделях транспортный поток рассматривается как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. В связи с жестким характером ограничений сети и массовым характером движения в транспортном потоке складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов загрузок по полосам дороги и т.д.

Закон сохранения транспортного потока

       Рассмотрим поток транспорта на однополосной дороге, то есть при движении без обгонов. Плотность автомобилей в момент времени t обозначим q. Число автомобилей в интервале (S_1;S₂) в момент времени t равно: qdS.

       Пусть v – скорость автомобилей в точке S в момент t.Число проходящих через S (единицу длины) автомобилей в момент t есть qv. Найдем уравнение изменения плотности. Число автомобилей в интервале (S₁;S₂) за время t изменяется в соответствии с числом въезжающих и выезжающих автомобилей:

 (1)

       Интегрируя по времени и полагая, что q и v – непрерывные функции, получим .

       Поскольку S₁, S₂, t₁, t₂>0 произвольны получим  (2).

       Найдем уравнение для скорости v. Положим, что v зависит только от плотности q. Если дорога пуста (q=0), то автомобили едут с максимальной скоростью v_max. При наполнении дороги скорость падает вплоть до полной остановки (v=0), когда автомобили расположены «бампер-к-бамперу» (q=q_max). Эта простейшая модель выражается следующим линейным соотношением

.

       Тогда уравнение (2) примет вид:

. (3)

       Очевидно, что это закон сохранения количества автомобилей. Интегрируя (3) по S получим:

       Следовательно количество автомобилей постоянно для любых значений t.