Модель процесса обгона на двухполосной проезжей части

Моделирование производится в предположении, что появление автомобилей в заданном интервале τ подчинено закону распределения Пуассона. Время обгона определится как: ,

где динамические габариты автомобилей А и Б; скорости автомобилей А и Б.

       Обгон быстроходным автомобилем А тихоходного автомобиля Б возможен, если выполнены следующие два условия:

 - возникла необходимость обгона (перед автомобилем А в интервале времени τ появился хотя бы один тихоходный автомобиль Б);

 - на встречной полосе в соответствующем временном интервале τ нет ни одного автомобиля.

       Полное отсутствие автомобилей на встречной полосе при обгоне автомобилем А тихохдного автомобиля В возможно, если на встречной полосе не появится ни один автомобиль в интервале времени . Вероятность отсутствия автомобиля на встречной полосе в интервале времени t равна:

,

где основной параметр распределения (интенсивность движения по встречной полосе).

       Эта формула определяет вероятность обгона сходу, т.е. без какого-либо следования за тихоходным автомобилем В. Если же на встречной полосе во временном интервале t находится автомобиль, то маневр обгона невозможен. Поскольку обгон сходу на двух полосных дорогах чаще невозможен рассмотрим процесс обгона со следованием за тихоходным автомобилем.

       Модель строится следующим образом: все время следования разбивается на временные интервалы . Если время следования меньше t, то данная модель не описывает процесс возможности обгона.

       За время следования на встречной полосе во временном интервале t, начинающемся с момента окончания следования могут быть следующие явления:

 - отсутствие автомобилей с вероятностью ;

 - присутствие одного автомобиля с вероятностью ;

 - присутствие двух автомобилей с вероятностью ;

 - присутствие n автомобилей с вероятностью .

       Вероятность того, что на встречной полосе присутствует хотя бы один автомобиль может быть представлена в следующем виде:

       Вероятность возможности обгона со следованием в течение времени t включает в себя вероятность таких событий:

 - вероятность того, что за время следования t на участке 1-2 (рис) отсутствуют автомобили ;

 - вероятность того, что на участке 1-2 находится хотя бы один автомобиль, но к моменту прибытия автомобиля А в сечение 1-1 они успели освободить участок 1-2, необходимый для совершения маневра

       Такая вероятность определяется зависимостью:

       Тогда вероятность возможности обгона со следованием в течение времени t запишется:

вероятность обгона со следованием 1-го автомобиля; вероятность невозможности обгона.

       Для того, чтобы обгон стал возможен по истечении времени 2t необходимо, чтобы встречная полоса на участке 2-3 к моменту прибытия автомобиля А в сечение 2-2 была свободна от автомобилей. Вероятность такого события выражается формулой:

вероятность, что полоса свободная.

       Таким образом, вероятность возможности обгона после следования в течение времени 2t складывается из вероятности обгона по истечении времени t и вероятности возможности обгона по истечении времени 2t на участке 2-3:

       После преобразований получим:

       Аналогично определяется вероятность возможности обгона со следованием в течение времени 3t, 4t и т.д.

       Тогда вероятность возможности обгона со следованием в течение времени nt определится по формуле:

       Реализовать маневр обгона можно в том случае, если одновременно возникает необходимость в обгоне и возможность обгона. Выше рассмотрена вероятность возможности обгона. Вероятность необходимости обгона определяется появлением в прямом направлении хотя бы одного тихоходного автомобиля. Вероятность появления хотя бы одного автомобиля вообще определяется по распределению Пуассона:

где интенсивность движения в прямом направлении.

       Вероятность появления тихоходного автомобиля определяется содержанием таких автомобилей в потоке:

где интенсивность тихоходных автомобилей.

       Таким образом, вероятность обгона одного автомобиля определится по формуле:

.

       В случае определения вероятности обгона пачки автомобилей, время обгона и вероятность обгона преобразуются к следующему виду:

.

       При математическом моделировании транспортных потоков особое внимание должно быть уделено выбору зависимостей, описывающих распределение случайных величин (явлений). В случае дискретных распределений используются биномиальные, отрицательные биномиальные, распределения Бернулли и т.д. Однако наиболее широко используется распределение Пуассона. К числу широко используемых непрерывных распределений относятся нормальное, распределение Вейбулла, Пирсона, показательное и т.д. Использование каждого из них должно быть тщательно обосновано. В ряде случаев сопоставление теоретических и фактических распределений позволяет ввести в известные зависимости поправочные коэффициенты.

Задача.