Форматы представления чисел с фиксированной плавающей запятой

Число 0,028 можно записать так: 28·10^-3, или 2,8·10^-2, или 0,03 (с округлением) и т. д. В компьютере используются две формы представления чисел.

Представление чисел с фиксированной запятой (точкой). Оно характеризуется тем, что положение разрядов числа в машинном изображении остается всегда постоянным независимо от величины самого числа.

Число А можно представить в виде

 

A=[A]_ф K_A,

 

где [A]_ф – машинное изображение числа в формате с фиксированной запятой, значение которого лежит в пределах

 

-1 < [A]_ф < 1;

 

K_A – масштабный коэффициент, выбирается так, чтобы сохранить соответствие разрадов всех чисел, которыми оперирует компьютер.

Формат (разрядная сетка) машинного изображения чисел с фиксированной запятой разбивается на знаковую часть и поле числа. В знаковую часть записывается информация о знаке числа: 0, если A≥0; 1, если A<0.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

№ разряда

 

 

Например, числа А₁ и A₂ в прямом коде имеют машинное изображение:

 

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

A₁ = 0.010011100010111₂;

 

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

A₂ = – A₁ = 0.010011100010111_2.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Оно характеризуется тем, что положение разряда числа в его машинном изображении непостоянно, и число А записывается следующим образом:

A = m_Ap_A,

 

где m_A – мантисса числа A; при представлении числа в компьютере мантисса должна удовлетворять ограничению 2^-1 ≤ | m_A | ≤ 1 – 2^-n; n – количество разрядов для изображения мантиссы без знака; p_A – порядок числа A.

Формат машинного изображения числа с плавающей запятой содержит знаковые части и поля мантиссы и порядка.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

№ разряда

      Форматы данных и машинные коды чисел.

Числа в компьютерах в двоичных кодах представляются как с фиксированной точкой или запятой, так и с плавающей точкой или запятой. Представление чисел в формате с фиксированной точкой получило название естественной формы числа, представление с плавающей точкой – нормальной формы числа. Под те или иные форматы отводится заранее известное количество разрядов (бит) -16,32 и т.д. Эта же величина может быть выражена в байтах, с учетом того, что 1 байт=8 бит.

      Представление чисел в формате с фиксированной точкой

Для чисел в естественной форме положение точки жестко фиксируется:

· Для целых чисел точка располагается справа от младшего разряда:

0000000000000000₂ =0₁₀, 0111111111111111_{. 2}=32767.₁₀;

· Для правильных дробей – перед старшим разрядом:

0.000000000000000₂=0₁₀, 0.000000000000001₂=0.000 030 517 578₁₀;

· Для смешанных дробей – в определенном месте, отделяющем целую часть числа от дробной:

000000.0000000000₂=0.0₁₀, 000001.0000000001₂=1.000 976 563₁₀

Наиболее часто такая форма используется для целых чисел и целых чисел без знака. Количество разрядов может быть либо 16 (вид Н), либо 32 (вид F).

Во всех форматах знак числа помещается в старший разряд и кодируется как 0 – знак положительного числа, либо как 1 – знак отрицательного числа. Знак отделяется от самого числа воображаемой точкой (рис.)

    Знак 2¹⁴       2¹³                    2¹ 2⁰

	1	1	1		1	1	Аmin
Формат Н				…
	0	1	1		1	1	Аmax
	0	1	2	…	14	15

    Знак 2³⁰       2²⁹                    2¹ 2⁰

	1	1	1		1	1	Аmin
Формат F				…
	0	1	1		1	1	Аmax
	0	1	2	…	14	15

 

Рис. 1.3. Форматы чисел с фиксированной точкой.

Фиксированная точка позволяет задать число только в строго определенном диапазоне. В формате Н числа можно задавать

От 1111 1111 1111 1111₂ до 0111 1111 1111 1111₂,

т.е. от -32767₁₀ до 32767₁₀, или от (1 – 2¹⁵) до (2¹⁵-1).

В формате F числа могут находиться в интервале

От 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂

До 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111₂,

т.е. от -7 F F F F F F F₁₆ до 7 F F F F F F F₁₆.

Естественно, что представление в шестнадцатиричной системе для формы F предпочтительнее двоичной.

Рассмотрим несколько примеров.

ЗАДАЧИ

1.3.1. Представить в форматах Н и F числа -127₁₀ и 127₁₀

127₁₀=1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=0111 1111₂.

А₂^Н=0000 0000 0111 1111_2,  А₂^F=0000 00 7 F₁₆.

-127₁₀=- (1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰)= -0111 1111₂.

А₂^Н=1000 0000 0111 1111_2,  А₂^F=8000 00 7 F₁₆.

 

1.3.2. Определить, какие из следующих шестнадцатиричных чисел положительные, а какие отрицательные: 9754, 157, ADF, 7654AD и DFEA.

Знак числа определяется по первой цифре: если она меньше 8 (1000), то число положительное, если значение от 8 до F, то отрицательное. Таким образом, получаем 9754<0, 157>0, ADF<0, 7654AD>0 и DFEA<0.

Представление чисел в формате с плавающей точкой

Для расширения диапазона рассматриваемых чисел по сравнению с естественной формой чисел используется формат с плавающей точкой или нормальная форма. Любое число в этом формате представляется, как А= ±m_aE^±Pа,

где m_a  - мантисса числа А; Е – основание системы счисления; ±Р_а- порядок. Все эти величины – двоичные числа без знака. На рис. 2 приведен формат числа в нормальной форме. Старший разряд (нулевой) содержит знак мантиссы, первый разряд – знак порядка, 6 разрядов, со второго по седьмой, определяют значение порядка, а остальные – мантиссу. Нормальная форма может быть представлена коротким форматом Е (4 байта), длинным форматом D (8 байт) и повышенной точности (16 байт). Во всех этих формах представления первый байт остается постоянным, изменяется только область, отведенная под мантиссу.

 

Знак m_a                Знак Р_а                    Порядок        Мантисса      

Знак ma

Знак Ра

Ра

ma

                         0          1            2    …          7 8                  31

Рис. 2. Нормальная форма числа

При таком представлении чисел 0 может быть записан 64 разными способами, т.к. для этого подходят любые значения порядков 0*2⁰=0*2¹=…=0*2⁶³. А другие числа могут иметь много различных форм записи. Например, 1536₁₀=3*2⁹=6*2⁸=…=768*2¹.

Для однозначного представления чисел мантиссу нормализуют, т.е. накладывают ограничение 1/Е≤m<1.

Это ограничение означает, что мантисса представляет собой правильную дробь и содержит хотя бы одну значащую цифру после запятой, отличную от нуля. Нормализованным представлением нуля является такое представление, при котором во всех разрядах находятся нули.

При использовании нормальной формы для части компьютеров характерно смещение оси порядков в область положительных значений. В этом случае арифметические действия производятся над порядками, не имеющими знака. В нормальной форме под значение порядка отводится 7 разрядов, один из них знаковый. Таким образом, значение порядка может лежать в интервале 2⁶≤Р≤2⁶-1, т.е. от -64 до 63.

Сместив порядок на 2⁶=64=40₁₆, мы получаем интервал возможных значений 0≤Р≤2⁷-1=127. Смещенный порядок на 40₁₆ называется характеристикой и вычисляется как Рx=P+40.

Если характеристика равна 40, то порядок равен 0; если характеристика меньше 40, то порядок отрицателен; если больше – то положителен.

ЗАДАЧИ

1.3.3. Представить в нормальной сетке Е числа 32001,5₁₀  и -32001,5₁₀

 

Представим числа в шестнадцатиричном коде 32001,5₁₀=7 D 01,8₁₆ и

- 32001,5₁₀. =-7 D 01,8₁₆

Затем найдем нормализованные мантиссы и характеристики.

m =7 D 01,8₁₆ m =0,7 D 018,                                                                                                                                                                                                                                                                                      

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак m       Рx                                                m

0

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

447 D 0180 > 0

  m = - 7 D 01,8 16 m=-0, 7 D 018,

при этом характеристика становится равной Рx=40+4=44

Знак m       Рx                                                m

1

100 0100

0111 1101 0000 0001 1000 0000

С47 D 0180 <0

Контрольные вопросы:

1. Как осуществляется перевод чисел делением на основание новой системы.

2. Как пользуются при табличном методе перевода чисел?

3. Что понимают под форматом данных?

4. Как представляется число в формате с фиксированной точкой?

5. Как представляется число в формате с плавающей точкой?

 

 

Лекция № 7

Тема: Меры информации: синтаксическая, семантическая, прагматическая.

Информация — это сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состояниях, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности, неполноты знаний.

 Информатика рассматривает информацию как связанные между собой сведения, изменяющие наши представления о явлении или объекте окружающего мира. С этой точки зрения информацию можно рассматривать как совокупность знаний о фактических данных и зависимостях между ними.

 В процессе обработки информация может менять структуру и форму. Признаком структуры являются элементы информации и их взаимосвязь. Формы представления информации могут быть различны. Основными из них являются: символьная (основана на использовании различных символов), текстовая (текст — это символы, расположенные в определенном порядке), графическая (различные виды изображений), звуковая.

 В повседневной практике такие понятия, как информация и данные, часто рассматриваются как синонимы. На самом деле между ними имеются различия. Данными называется информация, представленная в удобном для обработки виде. Данные могут быть представлены в виде текста, графики, аудио-визуального ряда. Представление данных называется языком информатики, представляющим собой совокупность символов, соглашений и правил, используемых для общения, отображения, передачи информации в электронном виде.

Информационная коммуникация – это пути процессы, обеспечивающие передачу сообщений от источника информации к её потребителю. Для потребителей информации важной характеристикой является адекватность.

Адекватность информации – определенный уровень соответствия, создаваемого с помощью полученной информации образа реальному образу, процессу или явлению.

 Одной из важнейших характеристик информации является ее адекватность. От степени адекватности информации зависит правильность принятия решения.

 Адекватность информации может выражаться в трех формах: синтаксической, семантической и прагматической.

Синтаксическая адекватность отображает формально-структурные характеристики информации, не затрагивая ее смыслового содержания. На синтаксическом уровне учитываются тип носителя и способ представления информации, скорость ее передачи и обработки, размеры кодов представления информации, надежность и Точность преобразования этих кодов и т. д. Информацию, рассматриваемую с таких позиций, обычно называют данными.

Семантическая адекватность определяет степень соответствия образа объекта самому объекту. Здесь учитывается смысловое содержание информации. На этом уровне анализируются сведения, отражаемые информацией, рассматриваются смысловые связи. Таким образом, семантическая адекватность проявляется при наличии единства информации и пользователя. Эта форма служит для формирования понятий и представлений, выявления смысла, содержания информации и ее обобщения.

Прагматическая адекватность отражает соответствие информации цели управления, реализуемой на ее основе. Прагматические свойства информации проявляются при наличии единртва информации, пользователя и цели управления. На этом уровне анализируются потребительские свойства информации, связанные с практическим использованием информации, с соответствием ее целевой функции деятельности системы.

 Каждой форме адекватности соответствует своя мера количества информации.

Синтаксическая мера информации оперирует с обезличенной информацией, не выражающей смыслового отношения к объекту. На этом уровне объем данных в сообщении измеряется количеством символов в этом сообщении. В современных ЭВМ минимальной единицей измерения данных является бит — один двоичный разряд. Широко используются также более крупные единицы измерения: байт, равный 8 битам; килобайт, равный 1024 байтам; мегабайт, равный 1024 килобайтам, и т. д.

Семантическая мера информации используется для измерения смыслового содержания информации. Наибольшее распространение здесь получила тезаурусная мера, связывающая семантические свойства информации со способностью пользователя принимать поступившее сообщение. Тезаурус — это совокупность сведений, которыми располагает пользователь или система. Максимальное количество семантической информации потребитель получает при согласовании ее смыслового содержания со своим тезаурусом, когда поступающая информация понятна пользователю и несет ему ранее не известные сведения. С семантической мерой количества информации связан коэффициент содержательности, определяемый как отношение количества семантической информации к общему объему данных.

Прагматическая мера информации определяет ее полезность, ценность для процесса управления. Обычно ценность информации измеряется в тех же единицах, что и целевая функция управления системой.

Контрольные вопросы:

1. Что такое информация?

2. Что понимают под адекватностью информации?

3. Дайте информационной коммуникации.

4. Что отображает синтаксическая адекватность?

5. Что определяет семантическая адекватность?

6. Дайте определение прагматической адекватности.

 

Лекция № 8