Тема: Недесятичная арифметика и её правила.

     1. Двоичная арифметика

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂ и 11₂:

110₂

+

11₂

1001₂

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂=1*2² + 1*2¹+ 0*2⁰ = 6₁₀;

11₂ = 1*2¹ + 1*2⁰ = 3₁₀;

6₁₀  + 3₁₀ = 9₁₀.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001₂ = 1*2³ +0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 9₁₀/

Сравним результаты – сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0-0 =_0

0-1 =11

1-0 = 1

1-1 = 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

110₂

-

11₂

11₂

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 *0 = 0

0 *1 = 0

1 *0 =0

1 * 1 =1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел и:

110₂

                                                                                                        _x

                                                                         11_{2___}

                                                                      110

                                                                    110____

                                                                  10010₂

 

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂ и 11₂:

110₂ 11_{2___}

-         10₂

11

    0

Контрольные вопросы:

1. Какая арифметика называется недесятичной?

2. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в двоичной системе счисления?

3. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в восьмеричной системе счисления?

4. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в шестнадцатеричной системе счисления?

 

 

Лекция № 6

Тема: Перевод чисел из заданной системы в другую.

Методы перевода чисел

Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

 

 

 

 

где 

Значит, в общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q ₁ в систему счисления с основанием q ₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_j нового ряда, изображающего число в системе с основанием q ₂. В такой постановке задачу перевода можно решить подбором коэффициентов b_j.

     Перевод чисел делением на основание новой системы

Перевод целых чисел осуществляется делением на основание q ₂ новой системы счисления, правильных дробей – умножением на основание q ₂. Действия деления и умножения выполняются по правилам q ₁ -арифметики. Перевод неправильных дробей осуществляется раздельно по указанным правилам, результат записывается в виде новой дроби в системе с основанием q ₂.

Пример 1. Перевести десятичное число A = 61₁₀ в систему счисления с q = 2.

 

   61  | 2

60    30  | 2

b ₀ = 1      30   15  | 2

       b ₁ = 0    14          7 | 2

                b ₂ = 1        6   3 | 2

                            b ₃ = 1        2   1 = b₅

                                     b ₄ = 1

Ответ: 61₁₀ = 111101₂.

Табличный метод перевода

В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.

Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (1) для исходной системы счисления надо поставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q ₂ -арифметики. полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.

Пример 2. Перевести десятичное число A = 113 в двоичную систему счисления, используя таблицу эквивалентов цифр и степеней основания

(q ₂ = 2).

 

Таблица 1 – Таблица эквивалентов

Десятичное число	Двоичное число
10^0	0001
10^1	1010
10^2	110 0100

 

Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней основания в (3), получим

A = 113 = 1 · 10² + 1 · 10¹ + 3 · 10⁰ = 001 · 1100100 + 0001 · 1010 + 0011 · 0001 = 1110001₂.

Ответ: 1110001₂.