Линейное уравнение регрессии

 

       Регрессией называется односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами. Эта зависимость выражается с помощью функции, которая называется регрессией. Регрессии различают по числу переменных (между двумя переменными – простая, или несколькими – множественная); по форме зависимости (линейная, выражаемая линейной функцией, нелинейная).

       Результаты измерений или наблюдений величин  и  (случайных) фиксируют в таблице наблюдений, если данные наблюдаются по одному разу.

 

				…
				…

           

Эти результаты можно изобразить на координатной плоскости в виде точек, координатами которых являются значения признака и  одного объекта  = 1, 2, …, n. В итоге получаем корреляционное поле. Пусть представление выборки на корреляционном поле следующие (рис. 2).

 

 

Рис. 2. Представление выборки

В случае а) видно, что следует искать линейную зависимость, в случае б) – нелинейную зависимость, а в случае в) вряд ли зависимость существует.

Конкретный вид функциональной зависимости между величинами и  называется эмпирической функцией. Простейшим видом эмпирической функции является линейная функция . Для получения линейной эмпирической формулы самым простейшим является метод «натянутой нити». В этом методе на корреляционном поле надо так провести прямую, чтобы по обе стороны ее оставалось примерно одинаковое количество точек. Выбираем на этой прямой две точки  и  (они могут и не принадлежать выборке). Подставляем эти координаты в формулу , получаем систему линейных уравнений:

 

 

Решив эту систему относительно а и b, получаем эмпирическую формулу.

Условным средним  называется среднее арифметическое наблюдений значений , при фиксированном значении переменной . Корреляционной зависимостью   от  называется функциональная зависимость условной средней  от х, в случае линейной корреляционной зависимости уравнение прямой линии регрессии имеет вид: = kx + c, где угловой коэффициент k называется выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначается .

 

Параметры  и  находятся из системы уравнений (метод наименьших квадратов):

 

 

где n – число наблюдений значения параметра.

Уравнение регрессии принято записывать в виде , где .

Коэффициенты  и  можно также найти по формулам:

 

 

,

 

 

Уравнение регрессии  на  имеет вид:

,

где

,

 

.

 

Если выборка многочисленна, то одно и то же значение  может встретиться  раз, одно и то же значение  соответственно   раз. Одна и та же пара значений  может наблюдаться  раз.

Поэтому наблюдаемые значения могут быть сгруппированы и записаны в корреляционной таблице:

 

Y Х	16	18	20	25
10	1		4
20	9		10
25	6	6	2
30	1	18		6

 

Здесь Х – количество удобрений, Y – урожайность, на пересечении строки и столбца указано количество участков, в которых при вносимом количестве удобрений получен соответствующий урожай.