Понятие о методе ранговой корреляции

 

       При изучении признаков с непрерывными и неизвестными законами распределения классические подходы корреляционного анализа неэффективны. В этих случаях для изучения тесноты связей применяют, например, метод ранговой корреляции.

Пусть дан вариационный ряд признака Х: . Рангом наблюдаемого значения  признака Х называется номер этого наблюдения в вариационном ряду, т.е. R () = j при условии, что неравенства строгие. Если встречаются одинаковые члены, то в качестве ранга берется среднее арифметическое соответствующих номеров. Например, сумма оценок, полученных студентами на двух экзаменах, образуют вариационный ряд: 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10, 10. Ранг трех студентов в начале ряда (1 + 2 + 3) / 3 = 2 или R (5) = 2; R (7) = 4,   R (8) = 5, R (9) = 6, R (10) = (7 + 8) / 2 = 7,5.

При изучении связи между Х и Y предположим, что выборка упорядочена по Х. Тогда ей соответствует следующая матрица (подстановка):

 

,

 

в которой первая строка состоит из рангов наблюдений Х, а вторая из рангов наблюдений Y.

       Для изучения связи между Х и Y используют эти подстановки или ранги. Жесткой функциональной положительной связи между Х и Y соответствует подстановка:

 

,

 

а жесткой отрицательной связи подстановка:

 

.

 

Остальные n -2 подстановки получаются при той или иной степени связи.

       Два элемента перестановки R () и R () инверсны (не образуют порядка), если R () стоит левее R (j) и больше его. Если при этом условии R () меньше R (j), то инверсии нет, и они образуют порядок.

       В качестве меры связи берут разность между суммами чисел порядков N и чисел беспорядков Q, образованных элементами второй строки подстановки.

С помощью комбинаторики можно определить вероятности получения перестановок заданной меры связи. Например, для подстановок из четырех элементов рассмотрим расчетную таблицу:

 

Число порядков N	Число инверсий Q	Мера сходства	Подстановки	Вероятность
0	6	-6	4321	1/24
1	5	-4	3421, 4231, 4321	3/24
2	4	-2	3412, 4132, 4213, 2431, 3241	5/24
3	3	0	3214, 2413, 4123, 3142, 1432, 2341	6/24
4	2	2	2143, 1423, 2314, 3124, 1342	5/24
5	1	4	2134, 1324, 1243	3/24
6	0	6	1234	1/24

           

Из таблицы видно, что распределения вероятностей симметричны относительно центра  = N – Q = 0. Отсюда следует, что таблицы для решения задач проверки гипотез относительно меры сходства (или связи) можно давать для неотрицательных значений .

       Коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется по формуле:

 

.

       Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется по формуле:

 

, где .

 

Пример 3. В таблице приведены данные о стаже работы (Х) и времени выполнения печати текста (Y) 10 машинисток. Вычислить коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена.

 

№ машинистки	Стаж, Х	Время выполнения задания, Y
1	32	12
2	15	24
3	16	23
4	18	21
5	20	20
6	28	9
7	21	11
8	29	10
9	23	15
10	17	16

 

     Решение. Расположим пары наблюдений  в порядке возрастания Х, получаем таблицу:

 

Х	15	16	17	18	20	21	23	28	29	32
Y	24	23	16	21	20	11	15	9	10	12

 

По этой таблице составляем матрицу подстановок, в которой первая строка состоит из рангов наблюдений Х, а вторая – Y:

.

 

Подсчитываем меру сходства , приписывая числу инверсий, образуемых элементами второй перестановки (строки), знак минус. Так, например, для 10 имеем -9, для                           6 – (2 – 5) = -3, …, для 4 – 1. Суммируя их, получаем  = -31.

       Вычисляем коэффициент ранговой корреляции Кендалла:

 

.

 

Вычисляем коэффициент корреляции  Спирмена. Сначала вычисляем

 

 

;

 

.

 

Итак, связь между стажем машинистки и временем, затраченным на работу, можно считать доказанной, т.е. чем больше стаж, тем меньше затраты времени.

Коэффициент  корреляции Спирмена и Кендалла можно рассчитать в пакете «Stadia».