Расчет средней арифметической в интервальном ряду

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

 

Средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

1) если х _i = с, где с – постоянная величина, то средняя арифметическая будет равна с;

2) сумма отклонений значений признака от его средней арифметической равна 0, т. е.

3) если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то средняя арифметическая уменьшится на эту величину с:

4) от уменьшения или увеличения частот f_i каждого значения признака в т раз величина средней арифметической не изменится:

5) если все индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить в d раз, то величина средней арифметической также уменьшится или увеличится в d раз:

На изложенных свойствах средней арифметической базируется один из методов ее расчета – способ моментов, или метод отсчета от условного нуля, который используется в случае вариационных рядов с равными интервалами. Согласно этому методу среднюю арифметическую взвешенную можно вычислить по следующей формуле:

где  – момент первого порядка.

За d, как правило, принимают величину интервалов, а за с – значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов нечетное), или середину интервала с наибольшей частотой также из центра ряда (при четном количестве интервалов в центре ряда будут находиться два интервала).

Пример 6.4. Рассчитаем среднюю прибыль по группе банков способом моментов.

Расчет средней арифметической способом моментов

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются для каждого x_i произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т.е. [ F_i = x_i × f_i ]. Величиной F_i может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете их средней цены; фонд заработной платы по отдельным категориям работников при расчете средней заработной платы и т. д. Ситуаций, когда нам известны не частоты, а произведения частот на соответствующие им варианты при расчете средней величины, более чем достаточно.

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

где F_i – произведения вариант на соответствующие им частоты;

x_i – варианты.

Если мы для каждой варианты рассчитаем частоту как  то формула средней гармонической взвешенной превратится в формулу для расчета средней арифметической взвешенной:

Пример 6.5. Вернемся к примеру 6.2, где рассчитывалась средняя заработная плата 20 работников малого предприятия. Предположим, что изначально были известны данные об уровне заработной платы для каждой группы работающих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда для расчета средней заработной платы необходимо определить численность работающих в каждой группе. Для этого разделим фонд заработной платы каждой группы работающих на их уровень заработной платы (см. графу 3 в таблице). Тогда, разделив общий фонд заработной платы на общую численность работающих, получим их среднюю заработную плату.