Глава 8. Структурные характеристики вариационного ряда распределения

 

Вступление

Для получения более полной характеристики вариационного ряда помимо средней величины рассчитываются так называемые структурные показатели. К ним относятся мода, медиана, квартили, децили, перцентили, квартильные и децильные коэффициенты.

 

Мода

Мода (Мо) – это наиболее часто встречающееся значение признака, или иначе говоря, значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по-разному.

Определение моды в дискретных вариационных рядах

В дискретных вариационных рядах для определения моды не требуется специальных вычислений: значение признака, которому соответствует наибольшая частота, и будет значением моды.

Пример 8.1. По представленным ниже результатам проведения контрольной работы по статистике определим моду.

Здесь наибольшая частота – 10, она принадлежит варианте со значением 3, значит, Мо = 3. Таким образом, самой распространенной оценкой, полученной студентами за контрольную работу, была «тройка».

Определение моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле

где х _Мо – нижняя граница модального интервала;

d – величина интервала;

f _Mo – частота модального интервала;

f _{Mo  1} – частота интервала, предшествующего модальному;

f _{Mo  1} – частота интервала, следующего за модальным.

Пример 8.2. Имеются данные по группе банков.

 

Определим модальный размер выданных кредитов:

1) модальным является интервал 60-80, так как ему соответствует наибольшая частота (21);

2) нижняя граница модального интервала x _Мо=60; величина интервала d =20 (80 - 60 = 20);

3) частота модального интервала f _Мо=21; частота интервала, предшествующего модальному, f _Мо-1=15; частота интервала, следующего за модальным, f _{Мо + 1} = 12.

Подставив в формулу соответствующие величины, получим

Медиана

Медиана – это значение признака, которое делит статистическую совокупность на две равные части: половина единиц совокупности имеет значения признака не меньше медианы, другая половина – значения признака не больше медианы.

Значения изучаемого признака всех единиц статистической совокупности можно расположить в порядке возрастания (или убывания). В этом случае мы получим ранжированный ряд. Если число единиц совокупности нечетное, то значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда, будет являться медианой. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя величина из двух значений признака, находящихся в середине ряда.

Пример 8.5. Имеются следующие данные о результатах сдачи экзамена по статистике в студенческой группе:

Представим их в виде ранжированного ряда:

Как видим, в ранжированном ряду оценки расположились следующим образом: сначала записана одна неудовлетворительная оценка (ее получил студент, имеющий в ведомости номер 3), затем три оценки «удовлетворительно», пять оценок «хорошо» и две оценки «отлично». В середине ранжированного ряда, имеющего нечетное число членов, стоит оценка «4», которую получил студент, записанный в ведомости под номером 5. Следовательно, оценка «4 (хорошо)» является медианой для данного ряда распределения. Пять студентов получили оценки 4 и ниже (2, 3, 3, 3, 4), другие пять студентов – 4 и выше (4, 4, 4, 5, 5).

Пример 8.6. Имеются данные о цене антоновских яблок в шести магазинах города. Представим их сразу в виде ранжированного ряда:

В середине ранжированного ряда находятся цены двух магазинов, причем они разные. Медиана определяется как средняя величина из этих значений признака. Она равна 43 руб. [(42  44): 2 – 43].

Таким образом, в 50% магазинов города яблоки продаются по цене не выше 43 руб. за килограмм, а в других 50% магазинов – по цене не ниже 43 руб.

Структурные показатели не зависят от того, имеются ли в статистической совокупности аномальные (резко выделяющиеся) наблюдения. И если средняя величина при их наличии теряет свою практическую значимость, то информативность медианы наоборот усиливается – она начинает выполнять функции средней, т. е. характеризовать центр совокупности.

Способы расчета рассматриваемых структурных показателей зависят от вида вариационного ряда.