Комплексний (частотний) коефіцієнт передачі

Лекція № 8.

РОЗДІЛ 6 Лінійні системи

Тема 8. Аналогові лінійні системи

Визначення та характеристики аналогових лінійних систем. Перетворення випадкового процесу в лінійній системі. Опис лінійних систем.

Ця лекція, на відміну від попередньої, присвячена не цифровій, а аналоговій обробці сигналів. Ми знову повертаємось до аналогових систем, оскільки багато базових понять, які використовуються при обробці аналогових сигналів використовуються з певними особливостями при цифровій обробці дискретних сигналів. Тому уявлення про характеристики і способи описання аналогових систем також потрібне, як і для дискретних. Розуміння цих питань дозволить глибше зрозуміти й теорію дискретних систем, тому що багато методів аналізу аналогових і дискретних систем знаходяться в тісній спорідненості. Крім того, в основі ряду методів проектування дискретних фільтрів лежить використання аналогових прототипів, тому кваліфіковане застосування цих методів також вимагає знайомства з теорією аналогових систем.

Матеріал носить оглядовий характер, буде стисло викладено питання аналізу проходження сигналів через лінійні аналогові системи.

 

Класифікація систем

Системи, що використовуються для перетворення сигналів, мають дуже різноманітні фізичні характеристики і можуть класифікуватися за різними ознаками.

Найважливішою класифікаційною ознакою є лінійність або нелінійність системи. Лінійними називаються системи, для яких виконується принцип суперпозиції: реакція на суму сигналів дорівнює сумі реакцій на ці сигнали, подані на вхід окремо. Так, якщо зв’язок між сигналами  на вході і виході системи задається оператором Т

,

де  - вхідний m-мірний векторний сигнал,  - вихідний n -мірний векторний сигнал, тоді для лінійної системи  і .

Системи, для яких принцип суперпозиції не виконується, називаються нелінійними.

Наступним критерієм класифікації систем є постійність або змінність їх характеристик в часі. Якщо довільна затримка вхідного сигналу призводить лише до такої ж затримки вихідного сигналу, не змінюючи його форми, система називається стаціонарною, або системою з постійними параметрами.

Тобто якщо , то  при будь-якому .

 Інакше система називається нестаціонарною, параметричною або системою із змінними параметрами. Два вказані способи класифікації ділять системи на чотири класи. Далі зупинимося тільки на класі лінійних стаціонарних систем. Нелінійні системи будемо розглядати на заключній лекції.

 

Характеристики лінійних систем

Для лінійних систем з постійними параметрами справедливі принципи суперпозиції і стаціонарності. Це значно спрощує аналіз проходження сигналів через такі системи, дозволяючи використовувати характеристики, мова про які піде далі.

Імпульсна характеристика

Лінійність і стаціонарність дозволяють легко знайти реакцію системи на будь-який вхідний сигнал, знаючи лише одну функцію - реакцію системи на подану на вхід дельта-функцію. Ця відома вже вам реакція називається імпульсною характеристикою системи і позначається h (t). Якщо деяка лінійна стаціонарна система описується оператором Т і для спрощення вважати вхідний і вихідний сигнали одновимірними, тоді h (t)=Т . Оскільки системи стаціонарна, тоді аналогічний вихідний сигнал матиме місце і для зсунутої за довільним за величиною часом дельта-функції : =Т .

Будь-який сигнал може бути представлений у вигляді згортки самого себе з дельта-функцією (фільтрувальна властивість дельта-функції ):

.

Лінійна система, тобто оператор Т, перетворює вхідний сигнал  відносно змінної t, тобто усі функції, що входять в цей вираз. Вхідний сигнал  при цьому перетворюється на вихідний сигнал  а дельта-функція  - в імпульсну характеристику . Функція  від t не залежить і тому залишається без змін. В результаті маємо формулу, яка показує, що сигнал на виході лінійної системи з постійними параметрами дорівнює згортці вихідного сигналу й імпульсної характеристики системи:

.       (9.1)

Ця формула має фундаментальне значення в теорії лінійних систем і має назву інтеграла Дюамеля. Вона також може бути подана у вигляді

.

ЗАУВАЖЕННЯ

Якщо вхідний і вихідний сигнали системи мають однакову розмірність, то імпульсна характеристика, як і дельта-функція часу, має розмірність частоти.

Якщо h (t) відома, то подальші етапу знаходження вихідного сигналу системи є цілком формалізованими.

Для випадку багатомірного сигналу вводяться парціальні  імпульсні характеристики , ; , кожна з яких відображає сигнал на i -тому виході при подачі на j -й вхід дельта-функції. Сукупність  утворюють матрицю імпульсних характеристик

.

Формула інтеграла Дюамеля в багатомірному випадку має вигляд , де  - m -мірний вектор,  - n -мірний вектор.

Формування вихідного сигналу можна пояснити таким чином. Нескінченно малий "шматочок" вхідного сигналу  шириною  породжує на виході відгук, що є імпульсною характеристикою, помноженою на  і затриманою за часом на , тобто є  (рис. 9.1). Щоб набути значення вихідного сигналу у момент часу t, треба скласти вклади від усіх цих нескінченно малих "шматочків", тобто виконати інтегрування по , що і дає приведену вище формулу згортки (9.1).

 

Рис. 9.1. Формування вихідної реакції ланцюга

 

Умовою фізичної реалізуємості системи є важливий принцип: сигнал на виході системи, який відповідає вхідному впливові, не може з’явитися до моменту появи імпульсу на вході.

Звідси маємо просте обмеження на вид припустимих імпульсних характеристик: h (t)=0 при t< 0. Для фізично реалізуємої системи верхня границя в інтегралі Дюамеля може бути замінена на поточний час

.

Ця формула має ясний фізичний зміст: лінійна стаціонарна система при обробці вхідного сигналу виконує операцію вагового підсумовування всіх його миттєвих значень, які існували „в минулому” при . Роль вагової функції виконує при цьому імпульсна характеристика системи. Принципово важливо, що фізично реалізуєма система ні за яких обставин не здатна оперувати з „майбутніми” значеннями вхідного сигналу.

Фізично реалізуєма система, окрім цього, має бути стійкою. Тобто, її імпульсна характеристика повинна задовольняти умові абсолютної інтегрованості .

Перехідна характеристика

Перехідною характеристикою називають реакцію системи на подану на вхід функцію одиничного стрибка (функцію Хевісайда). Позначається перехідна характеристика як g(t)=Т . Перехідна характеристика стаціонарної системи інваріантна відносно часового зсуву: =Т .

Перехідна характеристика фізично реалізуємої системи відрізняється від нуля лише при , як і для імпульсної характеристики g(t)=0 при t< 0.

Оскільки дельта-функція - це похідна від одиничного стрибка, імпульсна і перехідна характеристики пов'язані одна з одною операціями диференціювання і інтегрування:

, .

Скориставшись динамічним представленням довільного сигналу із застосуванням функцій Хевісайда

, яке витікає з такого його представлення , отримаємо . Рівноцінною є й інша форма представлення сигналу на виході лінійної стаціонарної системи інтегралом Дюамеля такого вигляду

.

Фазова и групова затримка

При перетворенні сигналу лінійною системою розрізняють два види затримки. Фазова затримка (phase delay) на частоті ω - це затримка гармонійного коливання з частотою ω, що проходить через систему. Значення фазової затримки дорівнює фазовому зсуву, що вноситься системою, діленому на частоту гармонійного коливання, із зворотним знаком:

Групова затримка (group delay) на частоті з - це затримка обвідної вузько-смугового сигналу з середньою частотою ω. Групова затримка дорівнює похідній від ФЧХ системи із зворотним знаком:

Приклад, що пояснює різницю між фазовою і груповою затримкою, приведений стосовно дискретних систем (розділ "Розрахунок групової затримки дискретної системи" глави 4 у кн. Сергієнко).

Кореляційна функція

Згідно з теоремою Вінера-Хинчина, кореляційна функція випадкового процесу пов'язана з його спектром перетворенням Фур'є. Застосування перетворення Фур'є до цієї формули дає згортку:

.

Тут  - результат зворотного перетворення Фур'є від коефіцієнта передавання за потужністю . Згідно із зв'язком між кореляційними функціями і спектрами сигналів це перетворення дає кореляційну функцію імпульсної характеристики системи .

Дисперсія

Дисперсія випадкового процесу дорівнює значенню його кореляційної функції при τ = 0. Підстановка цієї величини у формулу для вихідної кореляційної функції  дає .

  Можна розрахувати дисперсію і в частотній області. Скориставшись наведеною вище формулою для вихідного спектра, маємо

.

Густина ймовірності

У загальному випадку густина ймовірності випадкового процесу на виході лінійної системи не піддається розрахунку простими засобами. Виключення складає окремий випадок нормального випадкового процесу, оскільки нормальний розподіл залишається нормальним при будь-яких лінійних перетвореннях. Тому нормальний випадковий процес з нульовим середнім значенням після проходження через лінійну систему збереже свою нормальність і нульове математичне сподівання, а його дисперсія може бути розрахована по одній з формул попереднього підрозділу.

Окремий випадок білого шуму

Якщо вхідний випадковий процес є білим шумом, усі приведені раніше формули істотно спрощуються:

; ;

.

Диференційне рівняння

Зв'язок між вхідним і вихідним сигналами лінійного ланцюга із зосередженими параметрами може бути виражено у вигляді диференційного рівняння (ДУ) виду

.

Тут  - вхідний сигнал,  - вихідний сигнал,  і  - постійні коефіцієнти. Таким чином, ланцюг описується наборами коефіцієнтів  і { }.

 Повинна виконуватися нерівність , тобто максимальний порядок похідної вхідного сигналу не може перевищувати максимального порядку похідної вихідного сигналу. Це пов'язано з неможливістю реалізації операції "чистого" диференціювання аналоговим ланцюгом. Значення n називається порядком динамічної системи.

Якщо задати конкретний вид вхідного сигналу x (t), вийде лінійне неоднорідне диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами. Рішення цього ДУ дає вихідний сигнал y (t).

Функція передачі

Якщо застосувати до обох частин приведеного в попередньому підрозділі ДУ перетворення Лапласа, вийде вираз для операторного коефіцієнта передачі, або функціїпередачідинамічної системи (transfer function):

.

Тут a_i і b_i - ті ж постійні коефіцієнти, що і в приведеному раніше ДУ.

 

ЗАУВАЖЕННЯ -------------------------------------------------------------------------

Перетворення Лапласа можна розглядати як узагальнення перетворення Фур’є, при якому частота може набувати комплексних значень. Розраховується пряме перетворення Лапласа як  (порівняєте цю формулу з формулою прямого перетворення Фур'є). У цій главі для нас важливо тільки те, що перетворення Лапласа є лінійним і при диференціюванні сигналу в часі його перетворення Лапласа множиться на комплексну частоту s.

Комплексний коефіцієнт передачі виходить з функції передачі за Лапласом шляхом підстановки :

.

Нулі і полюси

Розклавши чисельник і знаменник функції передавання за Лапласом на множники, отримаємо функцію передавання в наступному вигляді:

.

Тут k=b_m/a_n - коефіцієнт підсилення (gain), z_i - нулі функції передачі (zero);  - полюси функції передачі (pole). В точках нулів H (z_i) також є 0, а в точках полюсів H (p_i) .

В даному випадку система описується набором параметрів { z_i, }, k, де нулі функції передачі можуть бути дійсними або складати комплексно-спряжені пари. Те ж відноситься й до полюсів. Коефіцієнт підсилення завжди дійсний.

Полюси і вирахування

Ще одним способом перетворення цієї дробово-раціональної функції передачі є її представлення її у вигляді суми простих дробів. За відсутності кратних коренів у знаменнику таке представлення має наступний вигляд:

Тут  - полюси функції передачі, а числа r_i називаються вирахуваннями (вычеты). С ₀ - ціла частина функції передавання, відмінна від нуля тільки у разі рівності степенів поліномів чисельника і знаменника.

В даному випадку система описується набором параметрів { r_i }, { p_i }, С ₀.

Полюси функції передавання можуть бути дійсними або складати комплексно-спряжені пари. Вирахування, відповідні комплексно-спряженим полюсам, також є комплексно-спряженими.

За наявності кратних полюсів функції передавання розкладання на прості дроби стає складніше. Кожного m -кратний полюс p_i дає m доданків наступного виду:

Стійкість лінійних систем

Система називається стійкою, якщо при нульовому вхідному сигналі вихідний сигнал затухає за будь-яких початкових умов: .

Ця вимога рівнозначна вимозі загасання імпульсної характеристики:

У попередньому розділі було показано, що імпульсна характеристика системи в загальному випадку містить доданки виду

,

де р_i - полюс функції передавання системи, r_i - відповідні їм вирахування, k - цілі числа в діапазоні від нуля до значення, на одиницю меншого кратності полюса р_i.

Такі доданки при  затухають, якщо дійсна частина полюса р_i є від’ємною: Re (р_i)<0.

Звідси отримуємо загальну умову: лінійна система є стійкою тоді й тільки тоді, коли полюси її функції передавання лежать в лівій комплексній півплощині.

ЛІТЕРАТУРА

1. Величко О.М., Коломієць Л.В., Гордієнко Т.Б. Оцінювання результатів вимірювань: основи і нормативне забезпечення – Одеса: ВМВ, 2010. – 380 с.

2.  Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс).

3.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа», 2003. 

4. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – ОΔЕКА, 1999. – 175 с.

 

Лекція № 8.

РОЗДІЛ 6 Лінійні системи

Тема 8. Аналогові лінійні системи

Визначення та характеристики аналогових лінійних систем. Перетворення випадкового процесу в лінійній системі. Опис лінійних систем.

Ця лекція, на відміну від попередньої, присвячена не цифровій, а аналоговій обробці сигналів. Ми знову повертаємось до аналогових систем, оскільки багато базових понять, які використовуються при обробці аналогових сигналів використовуються з певними особливостями при цифровій обробці дискретних сигналів. Тому уявлення про характеристики і способи описання аналогових систем також потрібне, як і для дискретних. Розуміння цих питань дозволить глибше зрозуміти й теорію дискретних систем, тому що багато методів аналізу аналогових і дискретних систем знаходяться в тісній спорідненості. Крім того, в основі ряду методів проектування дискретних фільтрів лежить використання аналогових прототипів, тому кваліфіковане застосування цих методів також вимагає знайомства з теорією аналогових систем.

Матеріал носить оглядовий характер, буде стисло викладено питання аналізу проходження сигналів через лінійні аналогові системи.

 

Класифікація систем

Системи, що використовуються для перетворення сигналів, мають дуже різноманітні фізичні характеристики і можуть класифікуватися за різними ознаками.

Найважливішою класифікаційною ознакою є лінійність або нелінійність системи. Лінійними називаються системи, для яких виконується принцип суперпозиції: реакція на суму сигналів дорівнює сумі реакцій на ці сигнали, подані на вхід окремо. Так, якщо зв’язок між сигналами  на вході і виході системи задається оператором Т

,

де  - вхідний m-мірний векторний сигнал,  - вихідний n -мірний векторний сигнал, тоді для лінійної системи  і .

Системи, для яких принцип суперпозиції не виконується, називаються нелінійними.

Наступним критерієм класифікації систем є постійність або змінність їх характеристик в часі. Якщо довільна затримка вхідного сигналу призводить лише до такої ж затримки вихідного сигналу, не змінюючи його форми, система називається стаціонарною, або системою з постійними параметрами.

Тобто якщо , то  при будь-якому .

 Інакше система називається нестаціонарною, параметричною або системою із змінними параметрами. Два вказані способи класифікації ділять системи на чотири класи. Далі зупинимося тільки на класі лінійних стаціонарних систем. Нелінійні системи будемо розглядати на заключній лекції.

 

Характеристики лінійних систем

Для лінійних систем з постійними параметрами справедливі принципи суперпозиції і стаціонарності. Це значно спрощує аналіз проходження сигналів через такі системи, дозволяючи використовувати характеристики, мова про які піде далі.

Імпульсна характеристика

Лінійність і стаціонарність дозволяють легко знайти реакцію системи на будь-який вхідний сигнал, знаючи лише одну функцію - реакцію системи на подану на вхід дельта-функцію. Ця відома вже вам реакція називається імпульсною характеристикою системи і позначається h (t). Якщо деяка лінійна стаціонарна система описується оператором Т і для спрощення вважати вхідний і вихідний сигнали одновимірними, тоді h (t)=Т . Оскільки системи стаціонарна, тоді аналогічний вихідний сигнал матиме місце і для зсунутої за довільним за величиною часом дельта-функції : =Т .

Будь-який сигнал може бути представлений у вигляді згортки самого себе з дельта-функцією (фільтрувальна властивість дельта-функції ):

.

Лінійна система, тобто оператор Т, перетворює вхідний сигнал  відносно змінної t, тобто усі функції, що входять в цей вираз. Вхідний сигнал  при цьому перетворюється на вихідний сигнал  а дельта-функція  - в імпульсну характеристику . Функція  від t не залежить і тому залишається без змін. В результаті маємо формулу, яка показує, що сигнал на виході лінійної системи з постійними параметрами дорівнює згортці вихідного сигналу й імпульсної характеристики системи:

.       (9.1)

Ця формула має фундаментальне значення в теорії лінійних систем і має назву інтеграла Дюамеля. Вона також може бути подана у вигляді

.

ЗАУВАЖЕННЯ

Якщо вхідний і вихідний сигнали системи мають однакову розмірність, то імпульсна характеристика, як і дельта-функція часу, має розмірність частоти.

Якщо h (t) відома, то подальші етапу знаходження вихідного сигналу системи є цілком формалізованими.

Для випадку багатомірного сигналу вводяться парціальні  імпульсні характеристики , ; , кожна з яких відображає сигнал на i -тому виході при подачі на j -й вхід дельта-функції. Сукупність  утворюють матрицю імпульсних характеристик

.

Формула інтеграла Дюамеля в багатомірному випадку має вигляд , де  - m -мірний вектор,  - n -мірний вектор.

Формування вихідного сигналу можна пояснити таким чином. Нескінченно малий "шматочок" вхідного сигналу  шириною  породжує на виході відгук, що є імпульсною характеристикою, помноженою на  і затриманою за часом на , тобто є  (рис. 9.1). Щоб набути значення вихідного сигналу у момент часу t, треба скласти вклади від усіх цих нескінченно малих "шматочків", тобто виконати інтегрування по , що і дає приведену вище формулу згортки (9.1).

 

Рис. 9.1. Формування вихідної реакції ланцюга

 

Умовою фізичної реалізуємості системи є важливий принцип: сигнал на виході системи, який відповідає вхідному впливові, не може з’явитися до моменту появи імпульсу на вході.

Звідси маємо просте обмеження на вид припустимих імпульсних характеристик: h (t)=0 при t< 0. Для фізично реалізуємої системи верхня границя в інтегралі Дюамеля може бути замінена на поточний час

.

Ця формула має ясний фізичний зміст: лінійна стаціонарна система при обробці вхідного сигналу виконує операцію вагового підсумовування всіх його миттєвих значень, які існували „в минулому” при . Роль вагової функції виконує при цьому імпульсна характеристика системи. Принципово важливо, що фізично реалізуєма система ні за яких обставин не здатна оперувати з „майбутніми” значеннями вхідного сигналу.

Фізично реалізуєма система, окрім цього, має бути стійкою. Тобто, її імпульсна характеристика повинна задовольняти умові абсолютної інтегрованості .

Перехідна характеристика

Перехідною характеристикою називають реакцію системи на подану на вхід функцію одиничного стрибка (функцію Хевісайда). Позначається перехідна характеристика як g(t)=Т . Перехідна характеристика стаціонарної системи інваріантна відносно часового зсуву: =Т .

Перехідна характеристика фізично реалізуємої системи відрізняється від нуля лише при , як і для імпульсної характеристики g(t)=0 при t< 0.

Оскільки дельта-функція - це похідна від одиничного стрибка, імпульсна і перехідна характеристики пов'язані одна з одною операціями диференціювання і інтегрування:

, .

Скориставшись динамічним представленням довільного сигналу із застосуванням функцій Хевісайда

, яке витікає з такого його представлення , отримаємо . Рівноцінною є й інша форма представлення сигналу на виході лінійної стаціонарної системи інтегралом Дюамеля такого вигляду

.

Комплексний (частотний) коефіцієнт передачі

Вихідний сигнал лінійної системи, як було показано вище, являє собою згортку вхідного сигналу і імпульсної характеристики. Перетворення Фур'є від згортки дає добуток спектрів сигналів, що згортаються, так що в частотній області проходження сигналу через лінійну систему описується дуже просто:

.

Тут  - перетворення Фур’є імпульсної характеристики системи:

.

Ця функція називається комплексним (частотним) коефіцієнтом передачі системи, а її модуль і фаза - відповідно амплітудно-частотною (АЧХ) і фазочастотною (ФЧХ) характеристиками системи.

Значення  показує, як змінюється при проходженні через систему комплексна амплітуда синусоїди з частотою ω. АЧХ  показує, у скільки разів зміниться амплітуда синусоїди, а ФЧХ  - який буде отриманий нею фазовий зсув

.

Оскільки  - функція дійсна, то з урахуванням властивостей перетворення Фур’є . Тому АЧХ є парною, а ФЧХ – непарною функціями частоти.