Коефіцієнт передачі за потужністю

Потужність гармонійного сигналу пропорційна квадрату його амплітуди і не залежить від його фази. Тому коефіцієнт передачі за потужністю дорівнює квадрату модуля комплексного коефіцієнта передачі, тобто квадрату АЧХ

.

Фазова и групова затримка

При перетворенні сигналу лінійною системою розрізняють два види затримки. Фазова затримка (phase delay) на частоті ω - це затримка гармонійного коливання з частотою ω, що проходить через систему. Значення фазової затримки дорівнює фазовому зсуву, що вноситься системою, діленому на частоту гармонійного коливання, із зворотним знаком:

Групова затримка (group delay) на частоті з - це затримка обвідної вузько-смугового сигналу з середньою частотою ω. Групова затримка дорівнює похідній від ФЧХ системи із зворотним знаком:

Приклад, що пояснює різницю між фазовою і груповою затримкою, приведений стосовно дискретних систем (розділ "Розрахунок групової затримки дискретної системи" глави 4 у кн. Сергієнко).

Взаємний спектр вихідного і вхідного сигналів

Взаємний спектр вихідного і вхідного сигналів лінійної системи легко знай­ти, виходячи з визначення взаємного спектра :

.

Звідси витікає, що комплексний коефіцієнт передачі системи дорівнює відношенню взаємного спектру вихідного і вхідного сигналів до енергетичного спектру вхідного сигналу:

.

Взаємна кореляція між входом і виходом

Застосувавши зворотне перетворення Фур'є до формули для взаємного спектру, отримаємо вираз для ВКФ сигналів на виході і вході (використовується зв'язок між кореляційними функціями і спектрами сигналів)

.

Отже, ВКФ вихідного і вхідного сигналів лінійної системи представляє собою згортку АКФ вхідного сигналу з імпульсною характеристикою системи.

Перетворення випадкового процесу в лінійній системі

Як відомо, випадковий процес є ансамблем реалізацій. Кожна окрема реалізація є детермінованим сигналом, і її перетворення лінійною системою аналізується за допомогою формул, приведених раніше. У цьому ж розділі буде розглянуто саме перетворення статистичних характеристик випадкового процесу. При цьому мається на увазі стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним сподіванням.

Спектральна густина потужності

Оскільки спектром випадкового процесу вважається спектр його потужності, він перетвориться в лінійній системі пропорційно коефіцієнту передачі по потужності:

.

Кореляційна функція

Згідно з теоремою Вінера-Хинчина, кореляційна функція випадкового процесу пов'язана з його спектром перетворенням Фур'є. Застосування перетворення Фур'є до цієї формули дає згортку:

.

Тут  - результат зворотного перетворення Фур'є від коефіцієнта передавання за потужністю . Згідно із зв'язком між кореляційними функціями і спектрами сигналів це перетворення дає кореляційну функцію імпульсної характеристики системи .

Дисперсія

Дисперсія випадкового процесу дорівнює значенню його кореляційної функції при τ = 0. Підстановка цієї величини у формулу для вихідної кореляційної функції  дає .

  Можна розрахувати дисперсію і в частотній області. Скориставшись наведеною вище формулою для вихідного спектра, маємо

.

Густина ймовірності

У загальному випадку густина ймовірності випадкового процесу на виході лінійної системи не піддається розрахунку простими засобами. Виключення складає окремий випадок нормального випадкового процесу, оскільки нормальний розподіл залишається нормальним при будь-яких лінійних перетвореннях. Тому нормальний випадковий процес з нульовим середнім значенням після проходження через лінійну систему збереже свою нормальність і нульове математичне сподівання, а його дисперсія може бути розрахована по одній з формул попереднього підрозділу.

Окремий випадок білого шуму

Якщо вхідний випадковий процес є білим шумом, усі приведені раніше формули істотно спрощуються:

; ;

.