Способи описання лінійних систем

У цьому розділі розглядаються різні еквівалентні способи представлення характеристик лінійних систем, що реалізовуються у вигляді ланцюгів із зосередженими параметрами. Розуміння суті цих варіантів представлення і способів переходу від одного представлення до іншого важливе для правильного їх застосування на практиці, в тому числі і використання відповідних функцій математичних пакетів, наприклад, MATLAB.

Диференційне рівняння

Зв'язок між вхідним і вихідним сигналами лінійного ланцюга із зосередженими параметрами може бути виражено у вигляді диференційного рівняння (ДУ) виду

.

Тут  - вхідний сигнал,  - вихідний сигнал,  і  - постійні коефіцієнти. Таким чином, ланцюг описується наборами коефіцієнтів  і { }.

 Повинна виконуватися нерівність , тобто максимальний порядок похідної вхідного сигналу не може перевищувати максимального порядку похідної вихідного сигналу. Це пов'язано з неможливістю реалізації операції "чистого" диференціювання аналоговим ланцюгом. Значення n називається порядком динамічної системи.

Якщо задати конкретний вид вхідного сигналу x (t), вийде лінійне неоднорідне диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами. Рішення цього ДУ дає вихідний сигнал y (t).

Функція передачі

Якщо застосувати до обох частин приведеного в попередньому підрозділі ДУ перетворення Лапласа, вийде вираз для операторного коефіцієнта передачі, або функціїпередачідинамічної системи (transfer function):

.

Тут a_i і b_i - ті ж постійні коефіцієнти, що і в приведеному раніше ДУ.

 

ЗАУВАЖЕННЯ -------------------------------------------------------------------------

Перетворення Лапласа можна розглядати як узагальнення перетворення Фур’є, при якому частота може набувати комплексних значень. Розраховується пряме перетворення Лапласа як  (порівняєте цю формулу з формулою прямого перетворення Фур'є). У цій главі для нас важливо тільки те, що перетворення Лапласа є лінійним і при диференціюванні сигналу в часі його перетворення Лапласа множиться на комплексну частоту s.

Комплексний коефіцієнт передачі виходить з функції передачі за Лапласом шляхом підстановки :

.

Нулі і полюси

Розклавши чисельник і знаменник функції передавання за Лапласом на множники, отримаємо функцію передавання в наступному вигляді:

.

Тут k=b_m/a_n - коефіцієнт підсилення (gain), z_i - нулі функції передачі (zero);  - полюси функції передачі (pole). В точках нулів H (z_i) також є 0, а в точках полюсів H (p_i) .

В даному випадку система описується набором параметрів { z_i, }, k, де нулі функції передачі можуть бути дійсними або складати комплексно-спряжені пари. Те ж відноситься й до полюсів. Коефіцієнт підсилення завжди дійсний.

Полюси і вирахування

Ще одним способом перетворення цієї дробово-раціональної функції передачі є її представлення її у вигляді суми простих дробів. За відсутності кратних коренів у знаменнику таке представлення має наступний вигляд:

Тут  - полюси функції передачі, а числа r_i називаються вирахуваннями (вычеты). С ₀ - ціла частина функції передавання, відмінна від нуля тільки у разі рівності степенів поліномів чисельника і знаменника.

В даному випадку система описується набором параметрів { r_i }, { p_i }, С ₀.

Полюси функції передавання можуть бути дійсними або складати комплексно-спряжені пари. Вирахування, відповідні комплексно-спряженим полюсам, також є комплексно-спряженими.

За наявності кратних полюсів функції передавання розкладання на прості дроби стає складніше. Кожного m -кратний полюс p_i дає m доданків наступного виду: