Описание дискретных процессов

Процесс называется непрерывным, если наряду с близкими состояниями с числовыми характеристиками Sⁱ, S^j  существуют все состояния Sⁱ < S < S^j. 

Процесс называется дискретным, если  характеристика процесса S скачком изменяется из своего состояния S_k в состояние S_k+1. Эти состояния всегда можно   пронумеровать: 1, 2, 3,. …, k, …. Кроме натурального ряда состояниям можно сопоставлять моменты времени. Тогда состояния будут упорядочиваться последовательностью t₁ < t₂ < t₃ ... < t_k <...  .

От  непрерывной записи процесса можно переходить   к дискретной и наоборот.

Непрерывный на отрезке [a, b] процесс можно разбить точками x₀, x₁, x₂,..., x_m: 

a = x ₀, x ₁ x ₂           x _k       b = x _m

и рассмотреть вместо непрерывных состояний F(x),  x из [a, b], набор дискретных состояний F(x₀), F(x₁), …, F(x_m).

Но на этом пути нас могут ждать неприятности. На нижних рисунках показана «хорошая» и «плохая» ситуации. Во второй из них  мы пропускаем важную особенность реального процесса – резкое возрастание и убывание функции. Типичная проверка – удвоение точек. Это может дать настораживающие результаты, но не является панацеей, так как острый пик может быть узким и не попасть в дискретизацию. Конкурентом удвоению является случайный разброс точек на [a, b].      

Дискретностьв непрерывность: Дискретное  описание превращается в непрерывное путем интерполяции –  проведения кривой через известные точки.

Эта операция опасна двумя обстоятельствами.

Первое - кривая через точки проводится неоднозначно и может давать неправильное представление о поведении интерполируемой величины.

Второе – для дискретного случая может не существовать значения величины x в точках  из промежутка (x_k, x_k+1)  .

Вывод: замена и непрерывного на дискретное и дискретного на непрерывное возможна, но относиться к этому надо осторожно с учетом приведенных выше замечаний.

Пусть   каждое  состояние дискретного процесса описывается n характеристиками S¹, S², …, Sⁿ. Отметим, что среди них могут быть как количественные, так и качественные величины. О бщий вид дискретного процесса запишем как

{ S¹₁, S²₁, …, Sⁿ₁ } → { S¹₂, S²₂, …, Sⁿ₂ } →... → { S¹_k, S²_k, …, Sⁿ_k } →

Отметим, что здесь верхний индекс соответствует характеристике, а нижний – порядковому номеру состояния. В сокращенном виде это запишем как череду состояний  S₁ → S₂ →... → S_k, →

Основной развернутый способ записи процесса – указать, как  по значению характеристик S¹₁, S²₁, …, Sⁿ₁ находится значение S¹₂, далее S²₂   и т.д. Первое состояние процесса S₁   обычно считается известным (аналог начальных данных в ДУ). В хорошем случае  – это формула, в самом общем – алгоритм.

Один алгоритм (формула) может использоваться, например, при переходе от S₂ к S₃ ,   другой – от S₈   к  S₉   и т.д. Удобное включение различных алгоритмов – фундаментальная особенность и большое достоинство дискретного описания.

В простом случае характеристика S_k+1 зависит только от предыдущего состояния S_k. Более сложной является зависимость от нескольких, или даже всех предыдущих состояний: S_k-1, S _k-2... Первый вариант называется зависимостью без предистории, второй – зависимостью с учетом предистории.

Приведем примеры, когда зависимость выражается формулой.   S_k+1 = S_k + 1/k, S₀ = 0.; I(x_k+1) = I(x_k) + f(x_k) (x_k+1 – x_k) (накопление интегральной суммы); S_k+1 = S_k  + S_k• 0,8% – P_k. (помесячное состояние банковского счета, где P_k  – снятая в этом месяце сумма).

Рассмотрим включение в дискретный процесс логических переходов.

При переходе к k-тому состоянию проверяется некоторый комплекс условий D.  Он может состоять в простой проверке типа x > 0, но может включать и сложные и даже многоступенчатые условия на систему функций. При выполнении условий происходит переключение на другую ветвь (a  или  b):

                                                   S^a_k+1, S^a_k+2  , …, S^a_n

S₁, S₂ , …, S_k           

                                                   S^b_k+1 , S^b_k+2, …, S^b_n

Переход также может быть тренарным (один из трех) и полинарным:

       A                                                     A

               

                                                      A ¹, A ², …, A^k

 

A ¹      A ²     A ³.

Существует мемоническая запись условия логического перехода:

«Если так, то так».

Ситуация, когда происходит смена алгоритма, называется:

· Точка ветвления

· Точка принятия решений

· Точка бифуркации (в математике).

Для комплекса условий вводятся определения: жесткий переход – когда выполнены все приведенные условия. Мягкий  переход – выполнено хотя бы одного (несколько)из условий.