Описание процесса в виде функций и уравнений

Функцией называется правило  сопоставления значению некоторой переменной значения другой переменной. При этом первая переменная называется аргументом функции, вторая – значением функции.

Функция – наиболее употребительный способ описания процессов. Известно три способа задания функции:

Аналитический (в виде формулы).

Графический (в виде графика).

Табличный (в виде таблицы).

Все три способа имеют свои преимущества и недостатки. При графическом способе традиционно аргумент располагается на оси x, значение функции – на оси y. Вместо слов «при значении аргумента x» принято говорить «в точке x».

Функция может быть разрывной, может для отдельных аргументов и даже промежутков   не существовать (быть не определенной),  может иметь изломы.  Если для данного аргумента x существует более одного значения функции, то говорят, что функция многозначна (имеет несколько ветвей).

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные величины.

Уравнение, содержащее одну неизвестную величину, в общем виде записывается как (вид функции f  считается известной):

f (x) = 0.

Нахождение величин x = x_R, удовлетворяющих этому уравнению, называется решением  уравнения. Сами величины x_R  называются корнями уравнения.

Эта операция может быть выполнена тождественными преобразованиями с уравнением f (x) = 0. Решением в этом случае будет формула.   

Отнюдь не всегда уравнение может быть решено в формулах. Тогда  прибегают к   численному решению.   

Основная идея численного решения: если вычислить функцию f (x) в точках x₁ и  x₂  и сравнить значения, то возникает идея двигаться по оси x к корню в ту сторону, в которую уменьшается значение функции. Все остальное в численных методах – это немалое количество ухищрений, как искать корень быстрее и надежнее. 

Однократное применение численного метода даст один корень в виде одного конкретного числа. Большинство численных методов требует для начала процедуры нахождения корня  задать приближение – значение переменной x₀, с которого начнется процесс нахождения корня. Обычно получается корень, ближайший к точке x₀. Если у уравнения несколько корней, то надо начинать с разных приближений. Определение того, сколько у данного уравнения корней – сложная задача. Хороший способ начала решения задачи – построение графика функции   y=f (x).  График даст представление о поведении функции в целом и одновременно позволить определить точки для начала спуска к каждому корню. 

Рассмотрим запись

F(x, y) = 0.

Ее можно трактовать как одно уравнение с двумя неизвестными.

Но эта запись может иметь и другую трактовку. Ее можно рассмотреть как неявное задание функции y в зависимости от x.  Для этого в записи F(x, y) задается значение x и находится значение величины y, дающее равенство F(x, y) = 0 (корень уравнения с одним неизвестным). Сделав это для набора x, имеем соответствие массивов

[ x ] →    [ y ].

По определению это и есть функция. По массиву [ y ] можно построить график, составит таблицу.

Соотношение F(x, y) = 0 для задания неявной функции принято называть уравнением. Таким образом, изложенный выше метод является заданием функции при помощи уравнения. Аналогично можно понимать соотношение (уравнение) F(x, y, z) = 0  как неявное задание функции двух переменных z = Φ(x, y).

В записи F(x, y) = 0 переменные x и y   равноправны. Это позволяет выбирать – что выгодней рассмотреть y  как функцию величины x или x  как функцию величины y.

2.3.2 Описание процесса с использованием производной и интеграла

Рассмотрим функцию f(x). Вычислим эту функцию в двух близких точках x₁, x_{2 .} Получим  f(x₁) и f(x₂). Вычислит отношение:

(f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁).

(отношение приращения функции к приращению аргумента). 

Если x - это время, а f(x) - это расстояние, то это отношение будет приближенным значением скорости; оно будет точным при очень малом приращении аргумента. Отсюда важный для понимания смысл верхнего формулы: при бесконечно малой длине промежутка [x₁,x₂] – это мгновенная скорость изменения  величины f(x).

Производная (в численных вычислениях) – это отношение  

(f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁) при бесконечно малой величине (x₂ – x₁).

Строгое определение производной включает понятие предела  и имеет вид:

f(x₂) – f(x₁)

dy/dt  =   l i m

  x₂ → x₁      x₂ – x₁

(предел приращения функции к приращению аргумента). Здесь dy/dt - обозначение производной. Еще раз подчеркнем, что смысл производной – это скорость изменения той величины, которую описывает функция f(x).

Если понятие производной применить к самой производной (рассмотреть скорости изменения производной), то мы получим   ускорение. Эта величина также как и скорость, может применяться не только к механическому движению. Она оказывается очень важной в математике (в частности, при моделировании), носит наименование второй производной и записывается как  d²y /dt².

Для функций в виде формулы производная также имеет вид формулы. Существуют правила ее вычисления.

Для простых функций предлагается помнить таблицу производных. Уникальная функция, для которой производная равна самой себе –  y = e^x.

Интеграл. Разберем два классических примера использования понятия интеграла. Первый  пример – вычисление площади. В простейшем случае этоплощадь между кривой y = f(x) и осью 0x. Более сложные площади считаются многократным применением излагаемого приема. Рассмотрим Рис.

 

На этом Рис. площадь под кривой заменена суммой площадей трапеций. Геометрически ясно, что при уменьшении размеров высоты трапеции эта сумма приближается к искомой площади. Запишем ее:

S ≈ ∑_k f(x_k) (x_k+1 – x_k).

Такое выражение принято называть интегральной суммой. Её предел при уменьшении длины всех отрезков x_k+1 – x_k (строго говоря, max |x_k+1 – x_k| → 0) и называется интегралом по промежутку и обозначается как:

S = ∫ _a ^b f (x) dx.  

Метод трапеций удобен для понимания сути интегрирования. При решении реальных задач рекомендуется применять незначительно более сложный для компьютера, но более точный метод Симпсона (его другие наименования – Гаусса; квадратур). Этот метод заменяет вершину «столбика» в виде отрезка на дугу, которая также удобна для вычисления площади.

Вторая классическая задача, приводящая к понятию интеграла, – это вычисление работы. Оттолкнемся от школьной формулы для работы постоянной силы F на прямом отрезке длины S. Имеем  A = F S. В общем случае сила не постоянна. Будем считать, что она зависит от расстояния  x.  Разделим наше перемещение S точками x₁, x₂, …, x_k, …, x_r  на отрезки вида x_k+1 – x_k, такие, что на них силу F  можно приближенно считать постоянной. Получим, что работа этой силы на перемещении S будет 

A ≈ ∑_k F(x_k) (x_k+1 – x_k); здесь k = 1, …, r-1.

Как уже говорилось, предел этой суммы и есть интеграл:

A = ∫ _a ^b F(x) dx, здесь a = x₁, b = x_r.

Из приведенных примеров видно, что интеграл – это накапливание бесконечно малых величин, дающее в результате конечную величину. Этот прием оказался мощным   способом исследования реального мира.