Характеристики случайных процессов

Процессы, рассматриваемые в теории связи, могут быть детерминированными или случайными.

Детерминированные процессы - это процессы, течение которых во времени известно заранее и абсолютно точно.

Например, гармонический сигнал U(t) = U_mcos(w₀t+j₀), где U_m,, w₀, j₀ - заданы.

Это простейшая модель информационного сигнала, но она оказывается очень не точной для современных систем связи, дает большие погрешности в расчетах. Поэтому вводится новая модель, более сложная - случайные процессы (СП). Случайные процессы таковы, что их течение во времени заранее точно предсказать невозможно.

Пример СП - тепловой шум x(t).

Процесс случайный, т.к. мы не знаем его полностью. СП описывается своими реализациями, т.е. конкретными образцами.

Совокупность реализаций образует ансамбль (полная, но очень сложная характеристика СП).

Функция распределения вероятностей СП (ФРВ).

Функция распределения вероятностей обозначается F(x), характеризует вероятность того, что случайный процесс в некоторый момент времени t₁ принимает значение меньшее x₁. Полное обозначение одномерной ФРВ

F(x₁,t₁) = P(x<x₁, t=t₁)

Двумерная ФРВ.

F₂ (x₁ t₁,x₂t₂) = P (x<x₁, t=t₁,x<x₂;t=t₂)

Наиболее полная характеристика n - мерная ФРВ:

F_n (x₁t₁...x_nt_n) = P (x<x₁;t<t₁;... x<x_n;t=t_n)t

Функция плотности вероятностей случайного процесса (ФПВ)

В простейшем случае одномерная ФПВ равна:

Одномерная ФПВ равна пределу отношения вероятности попадания случайного процесса в интервал от x₁ до х₁+Dх, при t= t₁, к Dх при Dх стремящемся к нулю.

Наиболее полной характеристикой является n - мерная ФПВ.

ФРВ и ФПВ связаны друг с другом. ФПВ - это первая производная ФРВ по х_1, Соответственно, ФРВ равна интегралу от -¥ до х₁ от ФПВ:_.

:                     F(x₁t₁) =

Условие нормировки:   

                  

Числовые характеристики случайного процесса.

Среднее значение (математическое ожидание или первый начальный момент)

 m₁ =`x =                                   

 Физический смысл m₁ - это постоянная составляющая случайного  процесса.

2.Второй начальный момент.

 m₂ = `x² =

 Физический смысл m₂ - это полная средняя мощность случайного процесса на единичном сопротивлении.

      3.Дисперсия (второй центральный момент)

 s² = М₂ =

 Физический смысл s² - это средняя мощность переменной составляющей случайного процесса на единичном сопротивлении.

Числовые характеристики связаны между собой:

s² = m₂ - m₁²

Стационарность.

1. Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.

2. Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

3. Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса m₁, m₂, s² - не зависят от времени.

 Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя:

                    x(t)

                                                          Рис.11.1.

                         t

                      нестационарный Стационарный

 

  После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.

Эргодичность.

 

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.