Приёмник с согласованным фильтром (продолжение)

Видно, что амплитудно-частотная характеристика со­гласованного фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру входного сигнала. Фазочастотная характеристика равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (-ωt₀). Согласованный фильтр пропускает частотные составляющие спектра, которые дают наи­больший вклад в энергию сигнала, и, наоборот, не про­пускает составляющие, где преобладает помеха. Иными словами, согласованный фильтр выделяет наиболее ин­тенсивные участки спектра и еще больше ослабляет сла­бые участки. При этом форма сигнала на выходе фильтра изменяется. Однако это несущественно, так как задача фильтра состоит не в точном воспроизведении вида сиг­нала, а в получении максимума отношения сигнал/шум. Значительная роль при этом отводится фазочастотной характеристике фильтра, которая компенсирует все фазо­вые сдвиги спектральных составляющих входного сигна­ла. Таким образом, все составляющие сигнала в момент окончания посылки t = to, складываясь, дают пик выходного сигнала.

Определим теперь импульсную реакцию согласован­ного фильтра, учитывая, что она связанна с передаточной функцией посредством обратного преобразования Фурье.

Заметим, что S*(iω) = S (- iω), тогда после замены со на ω' = -ω получим:

(17.1)

Последнее равенство следует из того, что входной сигнал связан с преобразованием Фурье с комплексной спектральной плотностью:

(17.2)

Таким образом, импульсная реакция согласованного фильтра g (t) - cS (t ₀ - t) целиком определяется формой сигнала. Вид ее представлен на рисунке, где для упроще­ния положено С = 1.

Рисунок 17.2 - Импульсная реакция согласованного фильтра

На рисунке 17.2 показан сигнал S (f), появившийся в момент времени t=τ₀. Ясно, что сигнал S(tо+t), появится раньше на время to, чем сигнал S (t). Функция S(tо-t) является зер­кальным отображением функции S(to+t) относительно оси ординат. Она и представляет собой вид импульсной реакции согласованного фильтра.

Отметим, что для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы g (t) = 0 при t < 0. Для финитных сигналов, поступающих на вход фильтра в момент t = 0 и заканчивающихся в момент времени Т со­гласованные фильтры вполне реализуемы, если постоянная времени tо (момент снятия отсчета) удовлетворяет условию:

t ₀ + T >0 или t ₀ <Т.

Отсюда видно, что момент снятия отсчета, совпадает с моментом окончания посылки сигнала.

Укажем основные свойства согласованных фильтров:

1. Среди всех возможных линейных фильтров согла­сованный фильтр позволяет получить на выходе макси­мально возможное значение величины отношения энер­гии элемента сигнала к спектральной плотности мощно­сти шума q = 2 E / N ₀. Причем это значение не зависит от формы сигнала. Это свойство было принято выше за оп­ределение согласованных фильтров.

2. Согласованный фильтр инвариантен (инвариант­ность — независимость) относительно момента времени поступления сигнала, т. е. времени задержки. Иными словами для этого фильтра безразлично, когда на его вход поступит сигнал. В любом случае, если он согласо­ван по форме, на выходе фильтра будем иметь максимум отношения сигнал/помеха. В отличие от этого корреля­тор не инвариантен к задержке и для максимизации сиг­нала на его выходе необходимо иметь точную тактовую синхронизацию. Заметим, что напряжения на выходах обоих устройств совпадают только в момент окончания посылок сигнала. В остальные моменты они различны.

3. Согласованный фильтр является устройством, кото­рое вычисляет функцию взаимной корреляции между принимаемым сигналом U (t) и опорным (ожидаемым, эталонным) сигналом S,(t), i =1, M. Выходное напряже­ние U (to) согласованного фильтра, как и для любого ли­нейного устройства.

Это и есть не что иное, как с точностью до постоянно­го множителя С функция взаимной корреляции (Сравни­те со скалярным произведением, найденным выше).

Благодаря этому свойству оптимальный приемник может быть выполнен на базе согласованных фильтров, что показано на рис. 17.3.

Рисунок 17.3 - Реализация оптимального по Котельникову приемника

на согласованных фильтрах

Видно, что согласованный или пассивный фильтр в отличие от активного фильтра (коррелятора) заменяет сразу три элемента в приемнике — генератор опорного колебания, перемножители и интегратор. Казалось бы, схема стала проще, на самом деле трудности, возникаю­щие при реализации оптимальных приемников на согла­сованных фильтрах, оказываются весьма существенны­ми. Сложность заключается в том, что отсчет на выходе фильтра так же, как в корреляционном когерентном при­емнике, должен производиться «с точностью до начальной фазы». Однако при этом оказывается, что величина допустимой точности должна быть меньше, чем на выхо­де активного фильтра. В последнем достаточно, чтобы неточность была мала по сравнению с длительностью посылки сигнала, а при согласованной фильтрации она должна быть меньше, чем период высокочастотного за­полнения радиоимпульсов, поступающих на вход опти­мального приемника. Эти сложности соизмеримы с трудностями реализации когерентного опорного колеба­ния в активном фильтре.