Целочисленное программирование

Допустим, что к условию задачи (1.1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.

• В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия условия задачи) (рис. 1.11).

• В окне " Поиск решения " (меню "Сервис"→"Поиск решения"), нажмите кнопку " Добавить " и в появившемся окне " Добавление ограничений " введите ограничения следующим образом (рис. 1.12):

− в поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных задачи, то есть $B$3:$E$3;

− в поле ввода знака ограничения установите " целое ";

− подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки "OK".

Рисунок 1.11. Решение задачи при условии целочисленности переменных

Рисунок 1.12. Ввод условия целочисленности переменных задачи (1.1)

На рис. 1.11 представлено решение задачи (1.1)–(1,2), к ограничениям которой добавлено условие целочисленности значений ее переменных.

 

Анализ оптимального решения на чувствительность в Excel

Проведем анализ чувствительности задачи. Для этого необходимо после запуска в Excel задачи на решение в окне "Результаты поиска решения" выделить с помощью мыши два типа отчетов: " Результаты " и " Устойчивость " (рис. 1.13).

Рисунок 1.13. Выделение типов отчетов требуемых для анализа чувствительности

Отчет по результатам

Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рис. 1.14):

Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [лин.прогр.xls]Лист1
Отчет создан: 15.04.2010 18:22:13
				таблица 1
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$F$6	Коэфф.ЦФ Значение		27482,71351
				таблица 2
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$3	Значение Х1		100,6606607
	$C$3	Значение Х2		546,4444444
	$D$3	Значение Х3
	$E$3	Значение Х4		38,92492492
				таблица 3
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$F$12	Огран.3 Лев.часть		$F$12<=$H$12	связанное
	$F$10	Огран.1 Лев.часть		$F$10=$H$10	не связан.
	$F$11	Огран.2 Лев.часть		$F$11>=$H$11	связанное
	$B$3	Значение Х1	100,66	$B$3>=$B$4	не связан.	100,66
	$C$3	Значение Х2	546,44	$C$3>=$C$4	не связан.	546,44
	$D$3	Значение Х3		$D$3>=$D$4	связанное
	$E$3	Значение Х4	38,9249	$E$3>=$E$4	не связан.	38,9249

Рисунок 1.14. Отчет по результатам

1) таблица 1 содержит информацию о ЦФ;

2) таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;

3) таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе "Статус" ("Состояние") соответствующее ограничение указывается как "связанное"; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный) в этой графе указывается "не связан". В графе "Значение" приведены величины использованного ресурса.

Для граничных условий в графе "Разница" показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Таблица 3 отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения ЦФ. Так, если на ресурс наложено ограничение типа ≥, то в графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена минимально необходимая норма.

Если на ресурс наложено ограничение типа ≤, то в графе "Разница" дается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения.

 

Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц (рис. 1.15).

Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости

Рабочий лист: [лин.прогр.xls]Лист1

Отчет создан: 15.04.2010 18:22:13

Таблица 1

Изменяемые ячейки

Результ.

Нормир.

Целевой

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

стоимость

Коэффициент

Увеличение

Уменьшение

$B$3

Значение Х1

100,66

130,5

1E+30

114,633

$C$3

Значение Х2

546,44

1E+30

37,8923932

$D$3

Значение Х3

-104,41459

104,4145946

1E+30

$E$3

Значение Х4

38,9249

87,8

432,5773585

95,20826944

таблица 2

Ограничения

Результ.

Теневая

Ограничение

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

Цена

Прав. часть

Увеличение

Уменьшение

$F$12

Огран.3 Лев.часть

19,6648648

1E+30

462,9285714

$F$10

Огран.1 Лев.часть

47,6981982

1E+30

410,4489796

$F$11

Огран.2 Лев.часть

-22,949549

502,8

733,6981132

Рисунок 1.15. Отчет по устойчивости.

Таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным.

А. Результат решения задачи.

Б. Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, в отчете по устойчивости для рассматриваемой задачи (см. рис. 1.15) нормированная стоимость Х3 равна –104,4 руб./шт. Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение, потребуем включить в план выпуска 1 единицу Х3, то новый план выпуска принесет нам прибыль на 104,4 руб. меньше, чем в прежнем оптимальном решении.

В. Коэффициенты ЦФ.

Г. Предельные значения приращения целевых коэффициентов ∆с_i, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, допустимое уменьшение цены на Х1 равно 114,6 руб./шт., а допустимое увеличение – практически не ограничено. Это задает соотношение устойчивости для коэффициентов целевой функции.

Примечание. При выходе за указанные в отчете по устойчивости пределы изменения цен оптимальное решение может меняться как по номенклатуре выпускаемой продукции, так и по объемам выпуска (без изменения номенклатуры).

Таблица 2 (см. рис. 1.15) содержит информацию, относящуюся к ограничениям.

А. Величина использованных ресурсов в колонке "Результ. значение".

Б. Предельные значения приращения ресурсов ∆b_j. В графе "Допустимое Уменьшение" показывают, на сколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить ресурс, сохранив при этом оптимальное решение. Для ограничений, не позволяющих выпускать большее, чем в оптимальном решении, количество продукции и получать более высокую прибыль возникает вопрос, на сколько максимально может возрасти это ограничение, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе "Допустимое Увеличение". Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль. Дальнейшее увеличение таких ограничений сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение, т.к. уже другие ресурсы станут связывающими.

В. Объективно-обусловленная оценка j-го ресурса (теневая цена) рассчитывается только для существенных (дефицитных) ресурсов. Объективно-обусловленная оценка j-го ресурса показывает, насколько увеличится целевая функция при увеличении j-го ресурса на единицу.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.1. Для откорма животных используется три вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800 г. жиров, 700 г. белков и 900 г. углеводов. Содержание в 1 кг. каждого вида комбикорма жиров белков и углеводов (граммы) приведено в таблице:

Содержание в 1 кг.	Комбикорм
А	В	С
Жиры	100+10 а
Белки		100+10 а	110
Углеводы			100+10 а
Стоимость 1 кг

Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость? Составить математическую модель ЗЛП и решить ее на ЭВМ, провести анализ решения. Значение параметра a соответствует номеру своего варианта.

Задание 1.2. Продукцией городского молочного завода является молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1000+ а, 1000+ а и 9400+ а кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22+ а и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Значение параметра a соответствует номеру своего варианта.

Задание 1.3. На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при 1-м варианте раскроя 100 м² ткани изготовляется 6 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 16 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 3м². При 2-м варианте раскроя 100м² ткани изготовляется 4 деталей 1-го вида, 10 деталей 2-го вида, 8 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 5м². При 3-м варианте раскроя 100м² ткани изготовляется 9 деталей 1-го вида, 8 деталей 2-го вида, 6 деталей 3-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна 2+ а м². Зная, что деталей 1-го вида следует изготовлять 160+ а штук, деталей 2-го вида следует изготовлять 110+ а штук, деталей 3-го вида следует изготовлять 180+ а штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах.

Задание 1.4. (на оценку «отлично»). Мебельный комбинат выпускает книжные полки А из натурального дерева со стеклом, полки B1 из полированной ДСП (древесно-стружечной плиты) без стекла и полки B2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты полок А, B1 и В2 следующие: длина 1100 мм, ширина 250 мм, высота 300 мм. Размер листа ДСП

200+10 а X 300 см.

При изготовлении полок А выполняются следующие работы: столярные, покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки B1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка стекла) при изготовлении полок B1 и В2, выполняются на специализированных автоматах.

Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 4 (Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком – 10 (Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло – 100 (Пp2) стекол в час.

Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком – 7 (ФВ1) ч, автомата для резки стекла – 7,5 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 50+ а (V1) полок. На упаковку полки А требуется 4+ а (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 40+ а (Р1) столяров и 14+ а (Р2) упаковщиков.

Производительность автомата, производящего комплектующие полок B1 и В2, равна 3 (Пр3) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,4 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 8 (Тр3) мин для полки В1 и 10 (Тр4) мин для полки В2.

От поставщиков комбинат получает в месяц 400 (Z1) листов полированной ДСП, 230+ а (Z2) листов ДВП (древесноволокнистой плиты), а также 260+ а (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 14 (К1) задних стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла – 10 (К2) стекол для полок А и В2.

Склад готовой продукции может разместить не более 350 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 40+ а (N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 10+ а (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 205+ а руб., полки В без стекла – 142 руб., со стеклом – 160 руб.

Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих видов со стеклом составляет не менее 60% (Д) в общем объеме продаж, а емкость рынка полок производимого типа составляет около 5300 (V3) штук в месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 50+ а (З) полок типа В2 в текущем месяце.

Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка А – 295 руб., полка В без стекла – 182 руб., полка В со стеклом – 220+ а руб.

Пример построения модели (для а=0)

I этап построения модели заключается в определении (описании, задании, идентификации) переменных. В данной задаче искомыми неизвестными величинами является количество полок каждого вида, которые будут произведены в текущем месяце. Таким образом, x_А – количество полок А (шт./мес.); x_B1 – количество полок В1 (шт./мес.); x_B2 – количество полок В2 (шт./мес.).

II этап построения модели заключается в построении целевой функции, представляющей цель решения задачи. В данном случае цель – это максимизация прибыли, получаемой от продажи полок всех видов в течение месяца. Поскольку в этой задаче прибыль может быть определена как разность между ценой и себестоимостью, то ЦФ имеет вид

L (X)= (295- 205)x_А +(182- 142)x_B1 +(220 - 160) x_B2 → max.

III этап построения модели заключается в задании ограничений, моделирующих условия задачи. Все ограничения рассматриваемой задачи можно разделить на несколько типов.

Ограничения по фонду времени (с использованием трудоемкости работ)

Левая часть ограничений по фонду времени представляет собой время, затрачиваемое на производство полок в течение месяца в количестве x_А, x_B1, x_B2 штук. Правая часть ограничения – это фонд рабочего времени исполнителя работы (рабочего или автомата) за смену. Неравенство (2.2) описывает ограничение по фонду времени на выполнение столярных работ. Коэффициент 4 ч/шт. (Тр1) – это время, затрачиваемое на столярные работы при производстве одной полки типа А (трудоемкость); 40 чел. (Р1) – это количество столяров, участвующих в производстве; 8 ч (чел. / см.) – количество часов работы одного человека в течение смены; 1 см./дн. – количество смен в одном рабочем дне; 22 дн./мес. – количество рабочих дней в месяце:

4x_A ≤ 40 ·8·1· 22 (2.2)

Примечание 2.2. Важным моментом проверки правильности составления ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой частей ограничения. В ограничении (2.2) левая и правая части измеряются в часах, потраченных на выпуск продукции в течение месяца.

Аналогично записывается ограничение (2.3) по фонду времени на упаковочные работы, в котором 14 чел. (Р2) – это количество упаковщиков:

4/60 x_A +8/60 x_B1 +10/60 x_B2 ≤14 ·8 ·1 ·22 (2.3)

Ограничения по фонду времени (с использованием производительности работ)

Неравенство (2.4) описывает ограничение по фонду времени на покрытие лаком полок типа А. Отличие ограничений, учитывающих данные о производительности работ, от ограничений, учитывающих данные о трудоемкости работ, состоит в том, что производительность необходимо преобразовать в трудоемкость. Трудоемкость является величиной, обратной производительности. Коэффициент 1/10 при x_A в (2.4) – это количество часов, приходящихся на покрытие лаком одной полки типа А. При записи правой части ограничения учитываем, что автомат, выполняющий покрытие лаком, работает не полную смену (8 ч), а в течение сменного фонда времени 7 ч (ФВ1). Это связано с необходимостью подготовки автомата к работе и обслуживанием его после окончания работы.

1/10x_A ≤ 7· 1· 22 (2.4)

Неравенство (2.5) описывает ограничение по фонду времени на резку стекла для полок типа А и В2:

2/100x_A + 2/100x_B2 ≤ 7,5 ·1 ·22 (2.5)

Неравенство (2.6) описывает ограничение по фонду времени на производство комплектующих полок типа В1 и В2:

1/3x_B1 + 1/3x_B2 ≤ 7,4 ·1· 22 (2.6)

Ограничения по запасу расходуемых в производстве материалов (по запасу используемых для производства полок деталей)

Неравенство (2.7) описывает ограничение по запасу листов ДСП, поставляемых на комбинат ежемесячно. При этом следует учесть, что из листа ДСП надо выкраивать комплекты (верхнюю и нижнюю стороны полок, 2 боковые стороны) для производства полок. Поэтому при задании ограничения имеет смысл ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество комплектов для полок [правая часть (2.7)], которые можно получить из имеющегося запаса ДСП. Но поскольку листы ДСП можно раскраивать различными способами и получать при этом различное количество деталей и комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части (2.7) как Y компл и рассмотрим способ его численного определения позже. В левой части ограничения (2.7) задается количество комплектов (по одному на полку), необходимых на производство полок в течение месяца в объеме x_B1, x_B2:

1x_B1+1x_B2 ≤Yкомпл (2.7)

Аналогично ограничению по ДСП неравенство (2.8.) – это ограничение по запасу задних стенок из ДВП для полок В1 и В2, а неравенство (2.9) – ограничение по запасу стекол для полок А и В2. В отличие от ДСП листы ДВП и листы стекла кроятся стандартным способом, и из каждого листа ДВП получается 14 (К1) задних стенок полок, а из каждого листа стекла получается 10 (К2) стекол. Ежемесячный запас листов ДВП и стекла составляет соответственно 230 (Z2) и 260 (Z3). При составлении левых частей ограничений (2.8) и (2.9) следует учесть, что на каждую полку В1 и В2 приходится по одной задней стенке, а на каждую полку А и В2 – по 2 стекла:

1x_B1 +1x_B2 ≤ 230· 14 (2.8)

2x_А + 2x_B2 ≤ 260 ·10 (2.9)

Ограничения по емкости вспомогательных помещений и рынка

Неравенство (2.10) является ограничением по количеству полок А, которые может вместить сушилка. В правой части (2.10) представлено количество полок, которые могут быть просушены в течение месяца (в день может быть просушено 50 (V1) полок):

x_A ≤ 50 · 22 (2.10)

Неравенство (2.11) описывает ограничение по количеству полок всех видов, которые может вместить склад готовой продукции. При этом правая часть (2.11) учитывает, что общая емкость склада уменьшена на 100 (Ост) полок, которые остались невывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в течение месяца каждый день будет освобождаться по 40 (N) мест для полок:

x_A + x_B1 + x_B2≤ 350 -10+ 40· 22 (2.11)

Неравенство (2.12) описывает ограничение по примерной емкости рынка, равной 5300 (V3) полкам всех видов:

x_A + x_B1 + x_B2 ≤5300 (2.12)

Ограничения по гарантированному заказу

Неравенство (2.13) показывает, что необходимо произвести как минимум 50 (З) заказанных полок В2, а возможно, и большее количество, но уже для свободной продажи:

x_B2 ≥ 50 (2.13)

Ограничения по соотношению объемов продаж различных товаров

Неравенство (2.14) показывает, что доля полок А и В2 в общем объеме полок, производимых для свободной продажи, должна составлять не менее 60% (Д). К такому выводу приводят результаты маркетинговых исследований.

Поскольку из всех полок В2 в свободную продажу поступит лишь (x_B2 −50), то это учитывается при составлении ограничения (2.14), которое после алгебраических преобразований принимает вид (2.15).

x_A+ (x_B2 - 50) ≥ 0,6 [x_A + x_B1 + (x_B2 − 50)] (2.14)

0,4x_A- 0,6x_B1+ 0,4x_B2 ≥ 20 (2.15)

Определение количества комплектов для полок В1 и В2

Рассмотрим подробно вопрос определения максимально возможного количества комплектов для полок В1 и В2, которое можно произвести из ежемесячного запаса ДСП. В зависимости от размеров листов ДСП (200+10 а X 300 см) и габаритов полок (1100. 250. 300 мм) детали полок В1 и В2 можно выкроить различными способами. Рассмотрим три возможных варианта такого раскроя (при а =0 см.рис.1.16-1.18).

Согласно 1-му варианту из одного листа ДСП для полок В1 и В2 можно выкроить 19 деталей верхней или нижней стенок, а также 9 деталей боковых стенок. По 2-му варианту раскроя получаем 12 деталей верхней или нижней стенок и 36 деталей боковых стенок. По 3-му варианту раскроя получаем 16 деталей верхней или нижней стенок и 18 деталей боковых стенок. Обозначим количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: по 1-му варианту через y1 (лист./мес.); по 2-му варианту – y2 (лист./мес.); по 3-му варианту – y3 (лист./мес.). При производстве полок нам выгодно стремиться к такому раскрою листов ДСП, при котором из полученных деталей можно укомплектовать максимальное количество полок. Количество комплектов, получаемых из раскроенных деталей, мы ранее обозначили через Y компл. Таким образом, наша цель описывается целевой функцией

L(y) = Y компл → max.

Количество всех раскроенных листов ДСП не должно превышать 400 (Z1), то есть ежемесячный запас их на складе:

y1 + y2 + y3 ≤ 400 лист./мес.

При этом, поскольку в каждый комплект входит одна верхняя и одна нижняя стенки, количество нижних и верхних стенок, получаемых при раскрое всех листов ДСП [левая часть (2.16)], должно быть не меньше чем 2Yкомпл:

19y1 +12y2 +16y3 ≥ 2Yкомпл (2.16)

Аналогичный смысл имеет ограничение (2.17), которое задает нижнюю границу количества боковых стенок полок:

9y1 + 36y2 +18y3 ≥ 2Yкомпл. (2.17)

После преобразования описанных неравенств получим модель задачи (2.18), позволяющую раскроить максимальное количество комплектов:

L(Y) = Yкомпл →max;

9y1+ 36y2+ 18y3- 2Y ≥0,

19y1+ 12y2+ 16y3- 2Y≥ 0,

y1+ y2+ y3 ≤400, (2.18)

Таким образом, при решении задачи (2.18) переменная Yкомпл непосредственно определяет значение ЦФ, а переменные y1, y2 и y3 влияют на изменение значения ЦФ косвенно, через ограничения. Решив задачу (2.18) для варианта 0, мы получим значение правой части ограничения (2.7) Y=3387 компл, после чего сможем решить исходную задачу:

x_A =1100 шт./мес., x_B1 = 0 шт./мес., x_B2 = 120шт./мес.,

L(X)=106 200 руб./мес., (2.20)

то есть в текущем месяце необходимо произвести 1100 полок А и 120 полок В2, а производство полок В1 нецелесообразно. После реализации всех произведенных полок комбинат получит прибыль в размере 106 200 рублей.

Рисунок 1.16. Способ 1

 

Рисунок 1.17. Способ 2

 

Рисунок 1.18. Способ 3