Матрица наблюдений однофакторного анализа

 

Номер измерения	Уровень фактора Ф j
Ф1	Ф2	Ф j	Ф q
	x 11	x 21	xj 1	xq 1
	x 12	x 22	xj 1	xq 2
i	x 1 i	x 2 i	xji	xqi
p	x 1 p	x 2 p	xjp	xqp
________ Сумма
________ Средние по уровням

 

Для характеристики изменения показателя x, вызванного действием фактора Ф, разложим общую сумму квадратов отклонений S _общ на факторную и остаточную составляющие:

(4.4)

где – остаточная сумма квадратов отклонений S _ост, которая характеризует рассеивание отдельных значений относительно средних по уровням (групповых средних) и не зависит от действия фактора Ф; – факторная сумма квадратов отклонений S _факт, так как изменение средних по уровням фактора при достаточной представительности результатов измерений должно в основном определяться действием фактора Ф.

Поскольку , сумма . Следовательно, общая сумма квадратов отклонений

. (4.5)

Общая, остаточная и факторная дисперсии соответственно

; ; . (4.6)

Если на изучаемый показатель не действует фактор Ф, должно соблюдаться условие , так как степень рассеивания групповых средних относительно общего среднего не должна быть больше, чем отдельных значений относительно групповых средних. Но может оказаться, что . Это может быть вызвано или влиянием фактора Ф, или влиянием остаточных факторов. В качестве показателя существенности различия дисперсий используют безразмерную величину

. (4.7)

Число степеней свободы для факторной дисперсии вычисляют по формуле , а остаточной – по формуле .

Если на показатель x будет влиять фактор Ф, дисперсия будет существенно превышать , а следовательно, фактическое отношение этих дисперсий должно быть больше случайных чисел F -распределения. Поэтому при можно утверждать, что на исследуемый показатель влияет фактор Ф. В противном случае, когда , влияние на x фактора Ф отвергается.

Например, требуется установить влияние различных типов теодолитов (уровни фактора) на точность измерения угла. Были исследованы три теодолита, каждым из которых четырежды измерен один и тот же угол. Полученные значения углов различались только в секундах, поэтому в матрице наблюдений (табл.4.2) приведена только эта часть данных.

 

 

Таблица 4.2

Результаты измерения углов

Номер измерения	Уровень фактора (условные значения)
Ф1	Ф2	Ф3
	51 (-1)	52 (0)	42 (-10)
	52 (0)	54 (2)	44 (-8)
	56 (4)	56 (4)	50 (-2)
	57 (5)	58 (6)	52 (0)
¼
______ Средние	(2)	(3)	(-5)

 

Для упрощения вычислений можно от каждого значения угла отнять, например, 52². Полученные условные значения в табл.4.2 приведены в скобках. Дальнейшие вычисления выполняют, используя условные значения. Условное общее среднее = (–1 + 0 + + 4 + 5 + 0 + 2 + 4 + 6 – 10 – 8 – 2 + 0): 12 = 0; групповые средние = (–1 + 0 + 4 + 5): 4 = 2; = (0 + 2 + 4 + 6): 4 = 3; = (–10 – 8 – – 2 + 0): 4 = –5. Факторная сумма квадратов отклонений S _факт = = 4 [(2 – 0)² + (3 – 0)² + (–5 – 0)²] = 152; дисперсия = 152: (3 – 1) = = 76. Остаточная сумма квадратов отклонений S _ост = (–1 – 2)² + (0 – 2)² + + (4 – 2)² + (5 – 2)² + (0 – 3)² + (4 – 3)² + (6 – 3)² + (–10 + 5)² + (–8 + + 5)² + (–2 + 5)² + (0 + 5)² = 114; дисперсия = 114: 3(4 – 1) = = 12,7. Тогда F _ф = 76: 12,7 = 5,98. По табл.3.2 при уровне значимости q = 0,05 и степенях свободы r ₁ = 3 – 1 = 2, r ₂ = 3(4 – 1) = 9 значение F_q = 4,26. Поскольку рассматриваемые типы теодолитов имеют различную точность измерения угла.

 

 

4.3. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ

Как уже говорилось, S _общ = S _ост + S _факт. Разделим это выражение на объем выборки N. Известно, что s² = S / N. Тогда равенство сумм квадратов можно записать в следующем виде: или

. (4.8)

По определению или (см. раздел 2.6). Тогда выражение (4.8) можно записать так: или в процентах

. (4.9)

Следовательно, действие всех факторов на исследуемый показатель можно представить в виде суммы квадратов корреляционных отношений (или коэффициентов корреляции при линейной связи). Квадрат корреляционного отношения, выраженный в процентах, называют поэтому коэффициентом детерминации, т.е.

. (4.10)

Для вычисления коэффициентов детерминации используем данные примера раздела 4.2 и табл.4.2: S _общ = 266, S _факт = 152, S _ост = 114. Тогда k _д.факт = (152: 266)100 = 57 %; k _д.ост = (114: 266)100 = = 43 %. Следовательно, отклонения отдельных значений от среднего на 57 % обусловлены различными типами теодолитов.

 

 

4.4. ДВУХФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

 

Если изучают влияние на величину x двух и более факторов, то принцип решения задачи анализа остается таким же, как и при однофакторном, усложняются лишь вычисления. Рассмотрим технику вычислений при двухфакторном анализе для общего случая, когда число определений показателя на каждом уровне факторов различное.

Например, на трех разных шахтах были многократно измерены углы сдвижения по простиранию пласта при первичной и повторной подработках (табл.4.3). С использованием метода дисперсионного анализа необходимо установить, влияют ли различия в горно-геологических условиях шахт, а также повторность подработки на углы сдвижения.

В матрице наблюдений (табл.4.3) измеренные значения углов сдвижения x_i (в градусах) размещены в клетках таблицы соответственно числу подработок (первичная или повторная, уровни p_i фактора B) раздельно для каждой из трех шахт (уровни d_i фактора A). Общее среднее (где N – число всех измерений равное 23). В каждой клетке таблицы вычислим частные средние , соответствующие определенным уровням факторов A и B, по формуле (где n_i – число измеренных углов сдвижения в каждой клетке таблицы, соответствующее определенным уровням факторов A и B). Значения приведены в табл.4.3 в круглых скобках. Контроль вычислений:

Качественной оценкой совместного влияния на углы сдвижения факторов A и B является сравнение вычисленных частных средних между собой, а также с общим средним. Различия в частных средних , а также их отличие от общего среднего может быть вызвано двумя причинами. Во-первых, изменением уровня фактора A или B (или A и B), что приводит к изменению частного среднего, т.е. рассматриваемые факторы существенно влияют на . Во-вторых, случайными причинами (на фоне рассматриваемых факторов): погрешность измерения, разная представительность выборок, другие не учитываемые в данном случае факторы. Очевидно, что характеристикой влияния на показатель x факторов A и B является факторная сумма квадратов отклонений

(4.11)

Если принять, что случайные факторы отсутствуют, а факторы A и B не оказывают влияния на показатель x, то и .

 

Таблица 4.3