Система числення (numeration system) - система позначень для подання чисел.

Існують позиційні й непозиційні системи числення.

У непозиційних системах значення числового знака не залежить від її позиції в записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) - цифри Х у будь-якої позиції дорівнює просто десяти.

ПОЗИЦІЙНА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ (POSITIONAL SYSTEM) -запис числа, в якому значення числового знака залежить від його розташування в запису

Наприклад, число 385,755 можна записати у вигляді виразу:

 

.

 

Основа позиційної системи числення - кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у даній СЧ.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число — два, три, чотири та ін. Запис чисел у кожній із СЧ з основою q означає скорочений запис виразу:

 

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 +... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m, (1)

 

де a_i — цифри системи числення;

n, m — число цілих і дробових розрядів, відповідно.

Так, десяткова система числення розташовує тільки десятьма цифрами - 0,1,2,…,9 – за допомогою котрих можливо представити будь-яке число. Десяткова система є позиційної, тобто значення кожної цифри числа визначається її місцем (позицією) у числі.

Правила запису й виконання різних операцій у всіх позиційних СЧ однакові та відрізняються друг від друга тільки основою (таблиця 1.1):

- у десятковій системі числення використовується десять цифр - 0 … 9;

- у двійковій системі числення використовуються дві цифри – 0, 1;

- у вісімковій системі - вісім цифр - 0 … 7;

- у шістнадцятковій системі числення задіяні шістнадцять символів - цифри 0 (9 і букви латинського алфавіту A,B,C,D,E,F для запису чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 відповідно.

Приклад запису числа у двійковій СЧ:

 

 

Таблиця 1.1 - Натуральні числа записані в десятковій, двійковій, вісімковій та шістнадцятковій СЧ

			A
			B
			C
			D
			E
			F
…	…	…	…

В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної CЧ в іншу.

Алгоритм перекладу цілих дісяткових чисел в СЧ с основою q реалізується за допомогою виконання наступних кроків:

1. Поділити вихідне десяткове число на число, що дорівнює значенню основи q. Зафіксувати остачу від ділення.

2. Послідовно повторювати крок 1 для одержуваних в процесі ділення остачі до одержання нульової остачі на черговому кроці.

3. Представити остачі від ділення в СЧ з основою q.

4. Записати отримані остачі зліва направо в порядку, зворотному їх одержанню.

 

Приклад 1.1. Перевести десяткове число 75 у двійкову систему числення (q = 2).

Послідовність ділення:

75: 2 = 37 (остача 1);

37: 2 = 18 (остача 1);

18: 2 = 9 (остача 0);

9: 2 = 4 (остача 1);

4: 2 = 2 (остача 0);

2: 2 = 1 (остача 0);

1: 2 = 0 (остача 1).

Записуємо остачі від ділення, починаючі з останнього, одержуємо число 75 в двійковій СЧ 1001011.

 

Приклад 1.2. Перевести десяткове число 75 в шістнадцяткову СЧ (q = 16).

Послідовність ділення:

75: 16 = 4 (остача 11, або B);

4: 16 = 0 (остача 4).

Десяткове число 75 у шістнадцяткової СЧ має значення 4B.

 

Алгоритм перекладу дробових десяткових чисел (менші одиниці) у СЧ з основою q полягає в наступному:

1. Помножити вихідне десяткове число на основу q. Зафіксувати цілу частину отриманого добутку.

2. Послідовно повторювати пункт 1 для отриманих добутків. (Перед кожним множенням цілу частина попереднього результату треба обнулить).

3. Завершити процес послідовних множень або при одержанні нульової дробової частини в черговому добутку, або при досягненні необхідної точності (число множень визначає число знаків дробової частини числа в СЧ з основою q).

4. Праворуч від коми записати зафіксовані цілі частини в тій послідовності, у якій вони отримані.

 

Приклад 1.3. Перевести десяткове число 0,7 у двійкову систему числення з п'ятьма знаками після коми. Послідовні множення дають наступні результати:

 

0,7 * 2 = 1,4 (ціла частина 1);

0,4 * 2 = 0,8 (ціла частина 0);

0,8 * 2 = 1,6 (ціла частина 1);

0,6 * 2 = 1,2 (ціла частина 1);

0,2 * 2 = 0,4 (ціла частина 0);

...

 

Таким чином, результат має вигляд: 0,10110

У тому випадку, коли вихідне число містить як дробову, так і цілу частини, треба відповідно до вищеописаних методів перевести окремо з десяткової CЧ у СЧ із основою q цілу й дробову частини вихідного числа, а потім записати їх відповідно ліворуч і праворуч від коми в результуючому числі.

Отже, результат перекладу десяткового числа 75,7 у двійкову систему має вигляд: 1001011,10110...

 

Варіанти до завдання 1

Перевести десяткове число в СЧ з основою q.

№	Число	q
	67,43
	89,12
	46,32
	39,55
	73,12
	81,54
	61,33
	87,32
	51,32
	83,52

Завдання 2. Переклад чисел із системи числення з основою q у десяткову систему числення