Свойства и основные характеристики производственных функций.

Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные ПФ обладают рядом общих свойств, таких как:

а) однородность; данное понятие включает в себя следующее свойство: равномерное увеличение всех производственных факторов вызывает пропорциональное увеличение продукта. Это свойство можно выразить математически: функция f(x 1, x 2, …, x n) однородна в степени h если

Величина h показывает степень использования производственных факторов или их эффективность. Когда h = 1, эффективность производства будет равна 1; при h > 1 говорят, что производственные факторы обладают растущей эффективностью; при h < 1 эффективность факторов снижается (рисунок 7.2).

б) предельная производительность факторов; наряду с часто используемыми в экономическом анализе рядов, содержащих абсолютные и относительные величины, применяют показатель — предельная величина (таблица 7.1).

Из таблицы 7.1 видно, что при увеличении числа занятых Z валовой продукт Y растет, средняя производительность труда растет до тех пор, пока число занятых на достигло 5 млн человек, затем некоторое время держится на уровне, а при дальнейшем увеличении числа занятых Z падает. Предельный продукт M ведет себя аналогично Y/Z, но быстрее достигает максимального уровня;

в) эластичность объема производства по отношению к ПФ. Эластичностью экономического показателя называется его способность реагировать в большей или меньшей степени на изменение другого показателя.

Эластичность объема производства Y по некоторому фактору определяется как отношение темпов прироста Y к темпам прироста этого фактора. Например, коэффициент эластичности Y по основным фондам определяется как:

Поскольку часто рассматриваются производственные функции, содержащие несколько факторов, то необходимо исследовать эластичность по всем этим факторам. В этом случае вводится понятие частной эластичности. Для двухфакторной производственной функции вида Y = f(F,Z) частные коэффициенты эластичности по факторам F и Z определяются следующим образом:

г) замещение факторов. Понятие взаимозаменяемость основывается на предположении, что производственные факторы могут замещать друг друга, и показывает, как при неизменной величине продукта можно изменять соотношение между факторами. Например, в случае производственной функции с двумя независимыми переменными F и Z можно поставить вопрос, насколько должно изменяться число занятых при некотором изменении объема основных фондов, чтобы величина произведенного продукта осталась неизменной.

Оценка заменяемости F и Z называется предельной нормой замены и определяется в виде следующего отношения:

Рассмотрим свойства производственной функции двух переменных, где x 1 – F, x 2 – Z. Прежде всего необходимо отметить, что такая производственная функция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, то есть при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0, 0, a)=0;

2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е.:  

3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска также растет, т.е. если x>0, то

 

5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если x > 0, то  

6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то

7) ПФ является однородной функцией, т.е.

 

Подобно линии уровня целевой функции оптимизационной задачи, для ПФ также имеет место аналогичное понятие. Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ – она определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Изокванты производственной функции, как правило, выпуклы, а Y (предельная норма замены) растет с увеличением F и уменьшением Z (рисунок 7.2, а) – это значит, что со временем становится все труднее заменять Z фактором F.

Из рисунка 7.3 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

Если производственные факторы можно заменить лишь в фиксированных пропорциях, то говорят, что производственная функция обладает нулевой предельной нормой замены (рисунок 7.3, б).

Свойства изокванты:

1. Изокванты не пересекаются.

2. Большей удаленности изокванты от начала координат соответствует больший уровень выпускаемой продукции.

3. Изокванты - понижающиеся кривые, имеют отрицательный наклон.

 

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(Y,x).

На рисунке 7.4 изображена одна из изоквант ПФ Q(Y,x)

Если взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А, и провести к ней касательную КМ, то тангенс угла даст нам значение MRTS:

Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора Y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора Y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

Один из наиболее интересных примеров использования изоквант ПФ – это исследование эффекта масштаба производства.

Что эффективнее для экономики: один крупный завод или несколько мелких предприятий? Ответ на этот вопрос не так прост. Плановая экономика отвечала на него однозначно, отдавая приоритет промышленным гигантам. С переходом к рыночной экономике началось повсеместное разукрупнение созданных ранее объединений. Где же золотая середина? Доказательный ответ на этот вопрос можно получить, исследовав эффект масштаба производства.

Представим, что на обувной фабрике руководство приняло решение значительную часть полученной прибыли направить на развитие производства с целью увеличения объемов производимой продукции. Допустим, что капитал (оборудование, станки, производственные площади) увеличен в два раза. Численность работников увеличилась в такой же пропорции. Возникает вопрос, что произойдет в таком случае с объемом выпускаемой продукции? (рисунок 7.6).

Из анализа рисунка 7.6 следуют три варианта ответа:

- количество продукции возрастет в два раза (постоянная отдача от масштаба);

- увеличится более, чем в два раза (возрастающая отдача от масштаба);

- увеличится, но меньше, чем в два раза (убывающая отдача от масштаба).

Постоянная отдача от масштаба производства объясняется однородностью переменных факторов. При пропорциональном увеличении капитала и труда на таком производстве средняя и предельная производительность этих факторов останется неизменной. В таком случае безразлично, будет ли работать одно крупное предприятие или вместо него будет создано два мелких.

При убывающей отдаче от масштаба невыгодно создавать крупное производство. Причиной низкой эффективности в таком случае, как правило, являются дополнительные затраты, связанные с управлением подобным производством, сложности координации крупного производства.

Возрастающая отдача от масштаба, как правило, характерна, для тех производств, где возможна широкая автоматизация производственных процессов, применение поточных и конвейерных линий. Но с тенденцией возрастающей отдачи от масштаба нужно быть очень осторожным: рано или поздно она превращается в постоянную, а затем и в убывающую отдачу от масштаба.

Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида

Например, в ПФКД для средних производительностей основного капитала у/К и труда у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

Определим для этой функции предельные производительности факторов:

Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности  называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства

или приближенно

Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма Е 1 +Е 2 =Е называется эластичностью производства. Например, для ПФКД Е1 = а1,