Аконы колебании в неограниченной среде постоянной упругости

Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)

§ 2. Приложим приведённые выражения к случаю волны, распространяющейся в среде постоянной упругости. Её поступательное движение совершается с постоянной скоростью, следовательно, если представим себе два бесконечно близких положения волны, то отрезки нормалей ds, заключающиеся между ними, будут величинами, постоянными для всех точек волновой поверхности. Итак,

Или обращаясь к уравнению (1)

Это основные уравнения в нашем исследовании.

С их помощью ур-ния (2) дают

Кривизна 1/p дуги s будет по уравнениям (3) и (7)

Этот результат известен: линия s, пересечение поверхностей μ₁ и μ₂, есть прямая, нормальная к поверхностям (”; эта нормаль имеет здесь значение луча.

Отсюда вытекает естественный выбор параметра р. Он может представлять отрезок луча между некоторым начальным и настоящим положением волны.

При таком выборе ds = d\> и по уравнению (1) имеем Я = 1.

Итак, мы имеем теорему:

Если принимаем за параметр волны отрезок луча между начальным и последующим положением волны, то её дифференциальный параметр первого порядка есть во всём пространстве величина постоянная и равная 1.

§ 3. Выражения (4) и (5) вследствие уравнений (6) преобразуются в следующие:

где P и Q означают функции, не зависящие от {>. Подставляя эти выражения в формулы (7), находим: Н_г = — Рг', //2 = —<?"", т. е. дифференциальные параметры первого порядка поверхностей, ортогональных к волне, пропорциональны радиусам кривизны волны.

Интегрируя выражения (11) и означая через P_L и Q_l две новые функции, не зависящие от р, получаем:

Подставляя в эти выражения величины Н_л и Н_г из уравнений (12), мы преобразуем их в следующие:

Подставляя выражения (13) в последнее из уравнений (10), мы находим:

Итак, условия ортогональности рассматриваемой си
стемы поверхностей заключаются в \равнениях (6), (12),
(14) и (15). '

§ 4. Мы переходим к исследованию некоторых частных видов дифференциальных параметров первого порядка поверхностей р, р_г, |.,.

а) Предположим, что поверхность p есть поверхность вращения. Принимая ось вращения за ось z, называя через г расстояние точки поверхности от оси, через р_г — угол меридиональных плоскостей с постоянною

плоскостью, через р_г— параметр поверхностей, пересекающих поверхности p и р₂ под прямым углом, мы имеем, полагая p постоянным:

Замечая, что мы

находим по уравнению (1):

Точно так же имеем:

Следовательно, Н_г и На в поверхностях вращения не зависят от параметра меридиональных плоскостей.

Ь) Рассмотрим цилиндрические поверхности. Возьмём ось z параллельно образующей. Координату z примем за параметр плоскостей, нормальных к оси z. Параметр плоскостей, параллельных оси z и нормальных к поверхности цилиндра, которую принимаем за поверхность [>, означим через f/_t.

Имеем, полагая p постоянным:

откуда находим:

В обоих случаях (а) и (Ь), как легко видеть, первое из уравнений (14) обращается в тождество, и уравнение (15) сводится к двум последним членам.

Как пример цилиндрической волны рассмотрим эпициклоидалы-гый цилиндр.

Представим себе (рис. 1) в среде постоянной упругости два равных неограниченных круглых цилиндра А и В. Оба цилиндра образуют по линии MZ узкую щель, параллельную их осям и через которую вытекают колебания в пространство, находящееся перед цилж:-.драми. От этой щели побегут колебания, огибая до ы>-

которой точки L один из цилиндров и затем распространяясь по касательной к нему LQ. Таким образом, от MZ побежит цилиндрическая волна, сечение которой, перпендикулярное к образующей, представит кривая PQ. Эту последнюю мы можем себе представить происшедшей от движения конца нити MR, навёрнутой на щь

Рис. 1.

линдp В и затем развёртываемой при постоянном натяжении. Длина этой нити может быть принята за параметр р, так как все колебания, одновременно вышедшие из MZ, будут одновременно прибывать к различным поверхностям р. Для некоторого момента сечение волны будет P'Q', для другого P"Q" и т. д. Если примем радиус цилиндров равным 1, угол MOL —sä параметр p_t касательных плоскостей. NLQZ', нормаль-

ных к волне, то геометрические свойства волны представятся уравнениями:

с) Исследуем поверхность, для которой

Означая это отношение через и,, мы находим из уравнений (14):

Интегрируя, получаем:

Это равенство возможно, если только (j. постоянно. Поэтому уравнения (12) примут вид:

И из уравнений (2) мы находим величину кривизн поверхности р:

т. е. оба радиуса кривизны равны между собою в каждой точке поверхности p и не изменяются при переходе от одной точки к другой. Следовательно, в рассматриваемом случае поверхность p есть сфера. Сюда же относится случай

если одно из уравнений (14) не обращается тождественно в нуль, что приводит к круглому цилиндру. Если мы примем //=1, получим:

Вместо p -l u. мы можем поставить просто p при условии, что при р = 0 будет /fj —0, /7о=--0. Тогда Нг = Рр, H_Z = Q?.

Принимая р₂ за параметр меридиональных плоскостей, р_г — за параметр конуса широты и p--за радиус сферы, мы получаем из выражений (11):

Следовательно,

d) Исследуем поверхность волны р, когда одна из величин Р₁ пли Q-^ обращается в нуль. Примем

<?1 = 0-

Кривизны поверхности р определяются из уравнений (7), и мы находим:

откуда заключаем, что один радиус кривизны есть величина, постоянная для всех точек поверхности р, другой же — величина переменная. Следовательно, поверхность р имеет вид канала, образованного движением центра сферы постоянного радиуса г" по некоторой кривой в пространстве.

Так как 0₁=0, то из уравнений (14) мы находим, что />! не должно зависеть от \-_г и Q не должно зависеть от р!. Поэтому кривизны поверхностей р_ъ р_а будут по выражениям (7):

е) Явления оиффракции. При своём движении волна может встречать препятствия, которые она должна огибать, или отверстия, через которые может проникнуть только часть волны. Как в том, так и в другом случае явления изменяются, ибо изменяется самый вид волны.

Предположим (рис. 2), что //' представляет поверхность волны в какой-нибудь момент времени.

Рис. 2.

MN представляет препятствие. Линии а, а', а", а'" представляют направление нормалей к волне. В некоторый момент волна принимает положение QM, затем Q'M'J", ибо движение распространилось и в пространстве M'MN. Сечение поверхности M'J" плоскостью, нормальною к ребру препятствия MN, есть дуга круга. Следовательно, эта поверхность принадлежит к разряду исследованных в (d). Излагаемая ниже теория поперечных колебаний даёт возможность по данному виду волны определить законы колебаний, происходящих на её поверхности; а следовательно, определяя дифференциальные параметры первого порядка ортогональной системы, включающей поверхность Q'M'J", вставляя их в найденные выше дифференциальные уравнения с частными производными и интегрируя их, мы решим задачу.

Пусть //' (рис. 3) представляет снова начальное положение волны и MN —отверстие- Легко видеть, что одним из последующих положений волны будет 00'0"0'", где 00', О"О'" суть поверхности, определённые в (d). Такой случай решается, как и предыдущий.

Метод изыскания законов диффракции, здесь предложенный, представляет к своему осуществлению многие трудности, заключающиеся преимущественно в разрывности всех или некоторых дифференциальных параметров первого порядка ортогональной системы. В этой разрывности заключается основной характер явлений диффракции.

Рис. 3.

§ 5. Мы переходим к исследованию изотермических поверхностей. Предположим, что поверхность волны есть поверхность изотермическая и p — её термометрический

параметр. Означая через

ренциалъныи параметр второго порядка функции р_/; имеем: А₂р = 0, так как p есть параметр термометрический. Следовательно,

откуда

Вставляя в это выражение величины //,, 7/_: из уравнений (12), находим:

Это выражение должно существовать для всяких р, р_ь р₂. Мы можем удовлетворить ему при двух предположениях:

! g постоянное.

Рассмотрим первое предположение. Мы находим:

Предполагая, что P и Q ые обращаются в нуль, мы находим из двух последних уравнений:

P_{l =} 0, Q, = 0.

Следовательно, рассматриваемая поверхность есть сфера. Величина //, выраженная термометрическим параметром, б\'пет:

Если же мы примем Т³ —0, то должны будем принять или _JP₁ = 0, то-есть Н₁ = 0, что невозможно, или Q = 0, но тогда равенство P₁Q_l = 0 даёт или Р_г == 0, или (>_{1 =} 0, то-есть опять или Н₁ = 0 или 7/₂=0, что невозможно.

Рассмотрим второе предположение. Оно влечёт за собою

Здесь возможны два случая:

Р=0, q! 0 или Q = Q, />i=0.

Примем последнее. Из уравнений (12) имеем:

Н_г = Р^Нар, ff_a = Qi.

Но

Elf // = е я.

Следовательно,

Bi~gPe>.; Я₂ = <?1-

Так как Q=-0, /^ = 0, то из уравнений (14) находим: 9Р_ ___ n “5Q! __ л

- — V/j _n — • v/,

<??2 5?!

следовательно,

Обращаясь к уравнениям (7), мы находим следующие выражения для кривизны поверхностей р, р₁₍ р₂:

Отсюда ясно, что рассматриваемая поверхность есть не что иное, как круглый цилиндр.

Итак, из всех изотермических поверхностей только плоскость, сфера и круглый цилиндр могут быть поверхностями волны.

§ 6. Исследование поверхностей;., ь_г, о₂₎ когда две из них, например p и j^, или все три изотермичны, представляя случай более частный, чем предыдущий, не требует более определения вида поверхностей, которые не могут быть иными, чем сфера и круглый цилиндр, но сводится к определению функции P и Q или P и Q_lt удовлетворяющих новым условиям.

'Мы рассмотрим только случай тройной изотермической системы ортогональных поверхностей, параметры которых \>, р_ь р₂ будут термометрическими параметрами. Здесь к условию

нам нужно прибавить

Эти условия для сферы примут вид:

Следовательно, отношение есть величина постоянная, которую означим через -.

Итак,

Уравнение (15) будет здесь:

Частные интегралы этого уравнения будут иметь вид

где s есть линейная функция относительно р_ь р₂.

Для полного определения вида функций Р, (ч, 1>2 нам следовало бы заняться интеграцией нового ряда дифференциальных уравнений с частными производными,

выражающими зависимость криволинейных Координат от прямолинейных. Но таи как подобные вычисления были бы излишни в настоящем исследовании, то мы ограничимся приведением известных результатов.

Означая через г радиус сферы, через 9 — широту и Ф — долготу, имеем:

Для круглого цилиндра мы имели:

При новых условиях, вводимых свойствами тройной изотермической системы, мы получаем еще:

 

назад вперед

 

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Понятие "мысленный эксперимент" придумано специально спекулянтами - релятивистами для шулерской подмены реальной проверки мысли на практике (эксперимента) своим "честным словом". Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.