I. Исследование общего вида волн

I. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО ВИДА ВОЛН

§ 1. Положение точек пространства, наполненного средою постоянной упругости, мы будем относить к тройной системе ортогональных поверхностей, из которых одна представляет самую поверхность волны.

Параметры трёх семейств ортогональных поверхностей будем означать буквами ρ, ρ₁ ρ₂, причём ρ мы будем постоянно считать параметром семейства поверхностей, к которому принадлежит волна.

Означим через H, H₁, H₂ обратные величины дифференциальных параметров первого порядка поверхностей ρ, ρ₁, ρ₂. Означая, далее, через ds_i элемент нормали к поверхности ρ_i, мы имеем¹):

Означая, далее, через r ^j_i радиус кривизны поверхности ρ_i соответствующий линии кривизны S_j, мы имеем:

Кривизна 1/ρ_i дуги S_i, ортогональной к поверхности р_i, даётся формулой

Наконец, условие ортогональности выражается следующими шестью уравнениями с частными производными:

^{х) См. Lame, Legons sur les coordonnees curvilignees.'etc.}

П. ЗАКОНЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ

§ 7. Дифференциальные законы колебаний в средах постоянной упругости имеют в криволинейных координатах следующий вид:

Здесь R, ri, R.₂ суть слагающие колебаний по нормалям к поверхностям р, [,_г, p_s. Величина 0 есть куби-

ческое расширение, X и р. — постоянные коэффициенты, о—плотность. Кроме того,

Мы начнем с приложения этих уравнении к колебаниям поперечным.

Так как поверхность p есть поверхность волны, то для определения законов поперечных колебаний остаётся положить равным нулю продольное колебание R и кубическое расширение 0, чтобы из выражений (1) исчезли члены, зависящие от скорости распространения продольных колебаний.

Означая скорость распространения поперечных колебаний через W, мы получаем из выражений (1), (2) и (3) следующие:

Эти уравнения с частными производными представляют зависимость между видом волны и поперечных колебаний, происходящих на её поверхности.

П. ЗАКОНЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ

§ 8. Интегралы предыдущих выражений могут быть даны в виде ряда:

 

и а может быть действительной или мнимой величиной. Следовательно,

В этих выражениях R* и Rj суть функции, удовлетворяющие уравнениям с частными производными (4), (5), (6)

 

Подставляя их в эти уравнения вместо R_t, R₂, приравнивая нулю коэффициенты при е^та1 и er^{ааЛ и обозначая амплитуды и*, v? вообще через и, t~, получаем:

Здесь А', Б', [' суть функции А, В, Г, в которые вместо ri, /?₂ подставлены и, с.

III. КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНЫЕ

§ 13. Обращаясь к основным дифференциальным уравнениям колебаний в § 7, мы заметим, что когда

умножим их на — = к,², они будут содержать члены, из которых одни имеют коэффициентом квадрат скорости и поперечных колебаний, другие-квадрат скорости продольных колебаний.

Первые члены в случае колебаний продольных должны исчезнуть из уравнений, и мы получаем первую группу:

Так как поверхность p по нашему выбору есть поверхность волны, то в уравнениях § 7 мы должны удержать одно колебание R и приравнять нулю колебания /?! и R.₂, совершающиеся в плоскости, касательной к волне. Вследствие этого находим, полагая //=1:

Так как А = 0, то уравнения (1) примут вид:

Умножая первое из уравнений (2) на //i//₂, дифференцируя по p и обращая внимание на уравнение (4), находим:

Но но уравнениям (2) В не зависит ни от р_х, ни от [-,. Следовательно, означая через &F частную производную от функции F по одной из переменных ^, р.₂, мы получаем пз уравнения (7):

Подставляя в ото выражение величавы II _lt Н₂, найденные в § 3, приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях,., мы находим следующие условия, которым должна удовлетворять волновая

Но мы знаем, что подобные соотношения имеют место только для сферы, круглого цилиндра и плоскости. Отсюда заключаем, что

одни изотермические волновые поверхности могут распространять колебания продольные.

Итак, если поверхность сотрясения или начальная волна не принадлежат к поверхностям изотермических волн, то вблизи их колебания происходят смешанные; но на значительных расстояниях волна приближается к виду одной из изотермических волн, и в явлении обнаруживаются колебания продольные. Это заключение было выведено иным путём Пуассоном.

Нам остается объинтегрировать приведенные дифференциальные уравнения для сферы.

Для сферы в координатах, уже нами употреблённых, мы имеем:

Подставляя величины В и Т в уравнение (5), получаем:

где суммирование совершается но индексу к.

Подставляя величину 0 в последнее из уравнений (10), интегрируя u обращая внимание на уравнение (11), находим:

Последний член этого выражения должен равняться нулю, ибо при p =оо будет /2 = 0. Второй член второй части выражения R отпадает для (> различных, и квадрат амплитуды, т. е. напряжение звука, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Между тем квадрат амплитуды кубического расширения следует тому жо закону для всякого р. Все эти выводы были получены Пуассоном иным путём.

I. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО ВИДА ВОЛН

§ 1. Положение точек пространства, наполненного средою постоянной упругости, мы будем относить к тройной системе ортогональных поверхностей, из которых одна представляет самую поверхность волны.

Параметры трёх семейств ортогональных поверхностей будем означать буквами ρ, ρ₁ ρ₂, причём ρ мы будем постоянно считать параметром семейства поверхностей, к которому принадлежит волна.

Означим через H, H₁, H₂ обратные величины дифференциальных параметров первого порядка поверхностей ρ, ρ₁, ρ₂. Означая, далее, через ds_i элемент нормали к поверхности ρ_i, мы имеем¹):

Означая, далее, через r ^j_i радиус кривизны поверхности ρ_i соответствующий линии кривизны S_j, мы имеем:

Кривизна 1/ρ_i дуги S_i, ортогональной к поверхности р_i, даётся формулой

Наконец, условие ортогональности выражается следующими шестью уравнениями с частными производными:

^{х) См. Lame, Legons sur les coordonnees curvilignees.'etc.}