Статистическая сумма идеального одноатомного Больцмановского газа

Сумма вероятностей n -состояний с энергией ε _n с точностью до константы – статистическая сумма.

где Z_A, Z_B, … – статистические суммы одной молекулы каждого сорта.

Статистическая сумма одной молекулы:

 – энергия молекулы в к -том состоянии.

Поступательная статистическая сумма:

 – масса частицы;

 – объем газа.

Вращательная статистическая сумма разная, в зависимости от типа молекул.

Двухатомная или линейная многоатомная молекула:

Нелинейная многоатомная молекула:

 в первой формуле – момент инерции, во второй .

 – фактор симметрии, равен 1+число перестановок одинаковых атомов в молекуле, эквивалентных вращению молекулы как целого. Для двухатомной молекулы из одинаковых атомов , из разных .

Квантовое выражение статистической суммы гармонического осциллятора частоты :

Электронная статистическая сумма:

 – энергия n -го квантового состояния атома или молекулы.

Внутренняя энергия системы – пространственная энергия системы, усреднённая по всем состояниям. Статистический вес – число способов достижения одного состояния:

Статистический вес основного состояния равен электронной статистической сумме:

Статистическая сумма одноатомного газа состоит из поступательной и электронной:

Многие термодинамические величины, такие как энергия, свободная энергия, энтропия и давление, могут быть выражены через статистическую сумму и ее производные.

 

 

Определение термодинамических свойств плазмы методом статистических сумм

Используется приближение локального термодинамического равновесия.

Общая формула свободной энергии:

 – вероятность n -го состояния системы из N частиц с энергией состояния E_n. Для системы из двух типов частиц:

Формула Стирлинга:

Тогда для системы из двух типов частиц:

 – числа частиц,  – число Эйлера.

Окончательно свободная энергия, с учетом того, что для одноатомного газа :

Удельная энтропия без ионизации и возбуждения равна:

Внутренняя энергия:

Давление:

 

Уравнение Саха

Пусть заданы плотность  и температура .

 – число нейтральных атомов.

 – число однократно ионизованных атомов.

 – число m -кратно ионизованных атомов.

 – число электронов.

Электронный газ не вырожден и подчиняется распределению Больцмана. Энергия поступательного движения частиц:

Внутренняя энергия частиц:

 – степень ионизации по электронам.

 

  – энергия ионизации,

 – энергия возбуждения.

Число тяжелых частиц постоянно, плазма квазинейтральна. Условие квазинейтральности плазмы:

Ионизация происходит по схеме:

Удельная свободная энергия:

 – статистические суммы m -го иона и электрона.

Вариация по отношению к изменению числа m -ионов из-за ионизации:

Тогда:

Электронная статистическая сумма:

 – энергия основного состояния.

 – энергия возбуждения.

 – статистические веса соответствующих уровней иона.

Получаем уравнение (а точнее систему уравнений) Саха:

Для завершения системы уравнений необходимо еще два.

Закон сохранения вещества:

 – концентрация ионов,

 – концентрация тяжелых частиц.

Условие квазинейтральности: