Определение выпуклости вверх и вниз графика функции в интервале.

Кривая называется выпуклой вверх, если на этом интервале кривая лежит ниже любой своей касательной.

Кривая называется выпуклой вниз, если на этом интервале кривая лежит выше любой своей касательной.

Достаточный признак выпуклости вверх и вниз графика функции.

Путь функция непрерывна на интервале (а, б) и имеет производные 1 и 2 порядка во всех точках этого интервала.

Если во всех точках х, принадлежащих (а, б) f”(x) > 0, то на этом интервале y=f(x) выпукла вниз.

Если во всех точках х, принадлежащих (а, б) f”(x) < 0, то на этом интервале y=f(x) выпукла вверх.

Доказательство

Предположим для определенности, что f ''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M ₀ с абсциссой x ₀ Î (a; b) и проведем через точку M ₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x ₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x ₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c ₁ между c ₀ и x ₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x > x ₀. Тогда x ₀ < c ₁ < c < x, следовательно, (x – x ₀) > 0 и (c – x ₀) > 0. Поэтому .
2. Пусть x < x ₀, следовательно, x < c < c ₁ < x ₀ и (x – x ₀) < 0, (c – x ₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x ₀ Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла вверх.

25. Определение точки перегиба. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба графика функции y= f(x)

Определение. Рассмотрим функцию y=f(x), которая непрерывна и дифференцируема в точке х₀.
Если при переходе через х₀ функция меняет направление выпуклости, т.е. существует число δ>0, такое, что на одном из интервалов (х₀ - δ, х₀) или (х₀, х₀ + δ) функция является выпуклой вверх, а на другом – выпуклой вниз, то х₀ называется точкой перегиба функции y=f(x).

Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую.

            x<x₀                                        x>x₀
            f”(x) <0                                  f”(x)>0
            f’(x) ↓                                   f’(x) ↑

 

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если x0 − точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х₀, причем в точке x0 она непрерывна, то f ’’ (х₀)=0.

Доказательство.

Дано: х₀ – абсцисса точки перегиба функции y=f(x)
Предположим, что в точке перегиба х₀ вторая производная существует и не равна нулю:
f ’’(х₀)≠0.

Поскольку f’’(x) – непрерывна, то по свойству непрерывной функции она сохраняет знак в точке х₀ и её окрестности. 

f ’’(х₀)<0 ∀x∈(х₀−δ,х₀+δ) или f ’’(х₀) >0 ∀x∈(х₀−δ,х₀+δ)

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх (при f’’’(x)<0), либо строго выпукла вниз (при f ’’ (x)>0). Но тогда точка х₀ не является точкой перегиба, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно и вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

 

Согласно необходимому условию существования точки перегиба, эти точки находятся среди точек, в которых f ’’(x) равна нулю либо не существует. Точки, в которых f ”(x) равна нулю либо не существует, называются критическими для перегиба (или подозрительными на перегиб), однако не во всякой критической точке будет точка перегиба.

Первое достаточное условие существования точки перегиба

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x₀, имеет вторую производную f′′(x₀) в некоторой проколотой δ-окрестности точки x₀ и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f′′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в левой δ-окрестности (x₀−δ,x₀) выполняется неравенство f′′(x)>0, а в правой δ-окрестности (x₀,x₀+δ) справедливо неравенство f′′(x)<0.

В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости, функция f(x) выпукла вниз в левой δ-окрестности точки x₀ и выпукла вверх в правой δ-окрестности.

Следовательно, в точке x₀ функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению, точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования точки перегиба
Пусть f′′(x₀)=0, f′′′(x₀)≠0. Тогда точка x₀ является точкой перегиба функции f(x).
Доказательство.
Поскольку f′′′(x₀)≠0, то вторая производная в точке x₀ либо строго возрастает (если f′′′(x₀)>0), либо строго убывает (если f′′′(x₀)<0). Так как f′′(x₀)=0, то вторая производная при некотором δ>0 имеет разные знаки в левой и правой δ-окрестности точки x₀. Отсюда, на основании предыдущей теоремы, следует что x₀ − точка перегиба функции f(x).

26 Асимптоты графика функции y = f (x). Нахождение вертикальных и наклонных асимптот. Теорема о существовании наклонной асимптоты графика функции (доказательство).

Асимптоты графика функции

Пусть точка М(x;y) перемещается по графику функции y=f(x), неограниченно удаляясь от начала

координат. Если при этом расстояние от т.М до некоторой прямой стремится к 0, то такая прямая-

асимптота графика функции y=f(x)

.           

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой Г, если расстояние от точки М кривой Г до

прямой L стремится к нулю, когда точка М, двигаясь по кривой, бесконечно удаляется от начала

координат.

Различают два вида асимптот: наклонные и вертикальные. Горизонтальные- частный случай НА.

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота- вертикальная прямая, уравнение которой .

Если функция ,или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен , то - точка бесконечного разрыва.

Верно обратное утверждение: если  – точка бесконечного разрыва функции y=f(x) или второго рода, то хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, т.е.              . Это означает, что расстояние , следовательно по определению ВА  – точка бесконечного разрыва функции y=f(x).

Вывод: для нахождения вертикальной асимптоты  графика функции y=f(x) надо найти т.  

бесконечного разрыва этой функции.

Наклонная асимптота

НА имеет вид y=kx+b

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту L: y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы ,

Необходимость

Дано: L: y=kx+b – НА графика функции.

Доказать: ,

Док-во:

MР перп. L

МN перп. 0X

MP=

Распишем MN:

MР перп. L

МN перп. 0X

MP=

Распишем MN:

,

Достаточность

Дано: L: y=kx+b – НА графика функции . ,

Доказать:: L: y=kx+b – НА графика функции .

Док-во:

Найдем разность ординат графика функции y=f(x) и прямой L: y=kx+b

       (по определению НА): L: y=kx+b – НА графика функции .

Вывод

y=kx+b, где ,  

Замечание

График функции может пересекать наклонную асимптоту, но вертикальную не пересекает.