Теоремы о пределах: предел суммы, произведения и частного двух функций, имеющих предел (с доказательством одной из теорем)

1) Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

Доказательство: Пусть ,

Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции:

    

, где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций).

По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции

или

2) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство:

Пусть , Тогда ,

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е.

3) Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:

Доказательство: Пусть ,  Тогда и

По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому , т.е.

Сравнение бесконечно малых. Символ,,о”- малое. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых величинах (с доказательством одной из них).

Вышмат. Вопрос 6.

Сравнение бесконечно малых. Символ,,о”- малое. Теоремы об

эквивалентных бесконечно малых величинах (с доказательством одной из

них).

Сравнение бесконечно малых.
Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, надо найти предел их отношения.

Определение: Пусть и бесконечно малые величины, одновременно стремящихся к нулю.

· Если предел отношения равен нулю, то бесконечно малая величина называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая β.

Обозначение:

α =о(β) или α << β

Читается: a есть «o - малое от b»

· Если существует конечный, отличный от нуля, предел их отношений, то

бесконечно малые величины a и b называются б.м. одного порядка малости

a

· Нет необходимости рассматривать случай, когда предел отношения     равен бесконечности,

так как в этом случае предел отношения  б/а (бета к альфа) равен нулю, значит b является б.м. более высокого порядка, чем a.

 

· Если же не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения бесконечно малых a и b, то говорят, что эти бесконечно малые не сравнимые по отношению.

· Если предел отношения равен 1, то бесконечно малая величины и β называются эквивалентными бесконечно малыми

Эквивалентными бесконечно малыми называются 2 бесконечно малые а и б (альфа и бета) одновременно стремящиеся к 0, предел отношения которых равен 1

Свойства эквивалентных бесконечно малых (теоремы)
1) Для того, чтобы две бесконечно малые a и b, одновременно стремящиеся к

нулю, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой

более высокого порядка малости, чем любая из них.

Доказательство.

Доказательство (только для удобства записи) проведем для случая, когда и - функции, являющиеся бесконечно малыми при .

 

Необходимость.

Дано что (альфа экв. Бета) при ,

Надо доказать. что (или ) при .

 

▲Обозначим

Найдем .

Это значит, что или . ▲

 

Достаточность.

Дано, что при ,

Надо доказать, что (альфа экв. Бета) при .

 

 

▲Так как , то ;

 

,

 отсюда , т. е. (альфа экв. Бета) при .▲

 

2)  Предел отношений двух бесконечно малых не изменится, если любую из них заменить на ей эквивалентную.

Доказательство.

▲Пусть и - бесконечно малые функции при .

Дано, что при , (альфа экв. Альфа 1, бета экв. Бета 1).

▲