Следствия 2-го замечательного предела:

1) Обозначим , тогда  при  и второй замечательный предел примет вид

.

2) =e

 Так как при x→0 имеем −1→0, то в рассматриваемом пределе наличествует неопределённость вида  .Для раскрытия этой неопределённости осуществим замену переменной, обозначив t=ex−1. Так как x→0, то t→0. Далее, из формулы t= −1 получим: =1+t, x=ln(1+t).(учить по идее не обязательно, написал для понимания)

3) =1

4)   

   

1) ;  при  и  являются б. м.:

 

.

Сделаем замену переменной ,  при ; ;  и

Получаем .

Таким образом  при .

Совершенно аналогично можно показать, что  при

 

 

2)  и , при  и  являются б. м.:

.

Здесь, забегая немного вперед, воспользуемся тем, что знаки предела и логарифма можно поменять местами в силу того, что функция  является непрерывной.

Тогда .

Доказано, что  при .

Совершенно аналогично можно показать (воспользовавшись правилом перехода к логарифму с другим основанием), что .

9. Понятие о приращении функции y = f (x). Определение функции y = f (x), непрерывной в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций (с доказательством одной из теорем). Два определения непрерывности функции в точке, их равносильность. Точки разрыва и их классификация.

Приращением переменной величины называется разность между 2-умя её значениями. ∆X=X-X0

Пусть переменной величиной является функция:

Опр. Приращением ∆у функции у=f(x) является разность между 2-умя различными значениями функции, т.е. разность между значениями функции в 2-ух разных точках (Х и Х0)

∆Y(X0)=Y-Y0=f(X)-f(X0)=f(X0+∆X)-f(X0)

Опр 1: Функция y=f(x) непрерывной в точке x0, если выполнены 3 условия:

А) Функция определена в т. Х0 и некоторой её окрестности.

Б) Существует предел функции f(x) в т. X0, т.е. ᴟlim f(x),при X→X0

В) Этот предел равен значению функции в точке X0, т.е. lim f(x)=f(x0), при X→X0

lim f(x)=А,при X→X0, А=f(X0)

lim f(x)=f(x0)=Ɐɛ>0 ᴟδ(ɛ)>0: ⱯX:|X-X0|<δ ==→|f(X)-f(X0)|<ɛ

Опр 2: Функция у=f(x) называется непрерывной в т.X0, если она определена в т. X0 и некоторой её окрестности и бесконечно малому приращению аргумента ∆x соответствует бесконечно малое приращение функции в т. Х0, т.е: lim ∆y(X0)=0, при ∆X→0

Два определения непрерывности функции в точке, их равносильность.

lim f(x)=f(x0), при X→X0 ----→(по теореме о разности функции и её пределом – Н.У.) f(x)=f(x0)+α(x), α(x)-б.м.(при Х→Х0 или при ∆Х→0). α(х)=f(X)-f(X0)=∆y(X0). lim α(x), при ∆x→0 = lim ∆y(X0)=0, при ∆x→0.

Теорема о непрерывности результата арифметических действий с непрерывными функциями:

Если функция f(x) и Ф(х) непрерывны в т Х0, то их сумма f(x)+Ф(х), разность, произведение и частное(Ф(Х0)≠0) также непрерывны в т Х0.

Док-во произведения:

Пусть f(x), Ф(х) – непрерывны в т Х0. Рассмотрим у(х)=f(x)*Ф(х).

lim y(x), при X→X0 = lim f(x)*Ф(х), при Х→Х0 =(по св-ву пределов) lim f(x), при Х→Х0*lim Ф(х), при Х→Х0=[по условию теоремы) f(x) непрерывна в т X0, lim f(Х)=f(X0), при Х→Х0

                                       Ф(х) непрерывна в т Х0, lim Ф(Х)=Ф(Х0), при Х→Х0] =f(Х0)*Ф(Х0), т.е. lim f(X0)*Ф(X0), при Х→Х0=f(X0)*Ф(Х0)---→ по опр непрерывности 1 f(x)*Ф(х) непрерывно в т Х0

 

Опр. Т. Х=Х0 – точка разрыва функции у=f(x), если нарушено хотя бы одно из условий непрерывности функции в т Х=Х0(см опр1). Различают устраненный разрыв, разрыв 1-ого рода (со скачком) и разрыв 2-ого рода.

Устраненный разрыв: т.Х=Х0 – есть точка устраненного разрыва, если односторонние пределы функции у-f(x) в т X0 существуют, равны и предел функции в т. Х0 не равен значению функции в т. Х0

Возникает, если функция «плохо» определена или не определена.

Разрыв 1-ого рода(со скачком) возникает, если односторонние пределы существуют, но не равны.

Разрыв 2-ого рода возникает, если хотя бы 1 из односторонних пределов не существует или бесконечен.