Теорема Ролля, доказательство, геометрическая интерпретация.

Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], имеет производную f’(x) на интервале (a,b) и при этом f(a)=f(b). Тогда существует точка c ∈ (a,b), в которой выполнено условие f’(c)=0.

Доказательство. Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и, следовательно, достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение. Если эти значения совпадают, то функция равна константе, и ее производная равна 0 в каждой точке интервала (a,b). Если же наибольшее и наименьшее значения функции не совпадают, то хотя бы одно из них не совпадает со значением функции на границах отрезка. Пусть в точке c ∈ (a,b) достигается наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Тогда эта точка является точкой экстремума и в этой точке по теореме Ферма производная равна 0.

Геометрическая интерпретация. Теорема означает, что если функция y=f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка С такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельная оси Ox.

Следствие. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями непрерывной дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

20. Теорема Коши. Теорема Лагранжа, доказательство, геометрический смысл.

Теорема Лагранжа: Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на , то найдется хотя бы одна точка  такая, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: Если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге графика функции  найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна хорде , стягивающей эту дугу.

Дано:  – непрерывна на , дифференцируема на

Доказать:

Доказательство: Введем вспомогательную функцию , где  – угловой коэффициент . , ,

 – удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.  – непрерывна на ;

2.  – дифференцируема на ;

3.  

 

По теореме Ролля: ,

 

Теорема Коши.

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций).

Если функции y = f (x) и y = g(x)

1) непрерывны на отрезке [a;b];

2) дифференцируемы на интервале (a;b);

3) производная g′(x) ≠ 0 на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x₀ такая, что

Из условия теоремы следует, что g′(x) ≠ 0. Это означает, что разность g (b) − g (a) ≠ 0. Действительно, если бы g (b) − g (a) = 0, то функция y = g (x), являясь непрерывной и дифференцируемой, удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае g ′(x) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке x₀ интервала (a; b), что противоречит условию. Введем вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на отрезке [a;b], так как непрерывны функции

у = f (x) и y = g (x);

2) функция F(x) имеет производную всюду в интервале (a;b), поскольку

каждое слагаемое в правой части функции F(x) имеет производную на этом

интервале;

3) F (a) = F (b) = 0, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Из теоремы Ролля делаем вывод о существовании точки x₀, что F ′(x₀) = 0.

 Поэтому

Отсюда следует

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: достаточно в теореме Коши взять g(x)=x.

Геометрический смысл теоремы Коши

Пусть плоская кривая γ описывается параметрическими уравнениями , , где параметр изменяется в промежутке . При изменении параметра точка кривой на рисунке 1 пробегает от до . В соответствии с теоремой Коши на кривой найдется точка , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы и данной кривой.

21. Определение дифференцируемой функции  в точке ­­ . Определение дифференциала . Геометрический смысл дифференциала

1. Определение:

Функция  называется дифференцированной в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде , где

Другая формулировка: называется дифференцированной в точке, если приращение в этой точке допускает выделение главной части линейной приращения аргумента

Приращение дифференцируемой функции имеет 2 слагаемых

1)  – главная по значению линейная относительно  часть приращения функции , называется главная часть

2)  – бесконечно малое более высокого порядка малости, чем  

2. Определение:

Дифференциал независимой переменной  равен приращения независимой переменной

3. Геометрический смысл дифференциала в точке:

Искомая прямая

Прямая  имеет угловой коэффициент  и проходит через точку , , данная прямая – касательная к графику функции в точке .

Дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной проведенной к графику функции в точке , где , когда абсцисса точки касания получает приращение

22. Определение функции y = f (x), возрастающей (убывающей) в интервале. Доказательство достаточного признака возрастания (убывания) функции на интервале.