Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

14.4.1. Вычислите интеграл  по дуге параболы  между точками  и .

Решение. Вычислим дифференциал длины дуги . Здесь , поэтому . Криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу: .

14.4.2. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь части цилиндрической поверхности , ограниченной снизу плоскостью , а сверху поверхностью .

Рис. 14.3

Решение. Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая , лежащая в плоскости , а образующие параллельны оси , причем для каждой образующей  точка  лежит на кривой , а точка  – на поверхности , ограничивающей цилиндрическую поверхность сверху (рис. 14.3), то площадь участка цилиндрической поверхности можно вычислить с помощью криволинейного интеграла: . В этом заключается геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода.

В нашем примере для вычисления интеграла удобно задать кривую  (окружность ) параметрически: , . Дифференциал длины дуги равен .

Тогда .

 

14.4.3. Вычислить криволинейный интеграл , где  — первый виток винтовой линии , , .

Решение. Вычислим дифференциал длины дуги винтовой линии:

. Подынтегральная функция на кривой равна . Первому витку винтовой линии отвечает изменение параметра от  до , тогда

.

14.4.4. Вычислить интеграл  по части линии пересечения поверхностей , , лежащей в первом октанте.

Решение. Первая поверхность — сфера радиуса  с центром в начале координат, вторая — плоскость, проходящая через центр сферы. Пересечением этих поверхностей является окружность. Зададим ее параметрически. Подставив  в уравнение сферы, получим . Этому уравнению тождественно удовлетворяет подстановка , . Следовательно, параметрическими уравнениями линии  будут , , . Участку в первом октанте отвечает изменение параметра от  до . Вычислим дифференциал длины дуги . Отсюда

.

14.4.5. Вычислить криволинейный интеграл , где  — правый лепесток лемнискаты .

 

Решение. Уравнение лемнискаты удобнее записать в полярных координатах: . Для правого лепестка . Для лемнискаты . Тогда искомый интеграл запишем в виде:

.

14.4.6. Вычислить интеграл  вдоль линий: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) .

в) Здесь удобнее перейти к интегрированию по переменной , тогда

, , .

Очевидно, криволинейный интеграл между двумя точками зависит от дуги, соединяющей эти точки.

14.4.7. Найти криволинейный интеграл второго рода  вдоль линии пересечения поверхностей  и .

Решение. Зададим линию параметрически. Именно, пусть , тогда  и . Параметр  при этом изменяется от  до .

Вычислим дифференциалы переменных: , , . Криволинейный интеграл равен .

14.4.8. Найти работу силы  вдоль кривой  ориентированной против часовой стрелки со стороны оси .

Решение. Зададим контур параметрически: , . Легко проверить, что уравнения системы при этом превращаются в тождественные равенства. Обходу контура против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси абсцисс, отвечает изменение параметра от  до . Работа силы задается интегралом

.

14.4.9. Вычислить интеграл , если  — контур треугольника с вершинами , , .

Решение. Преобразуем криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина (см. пункт 14.3).

Найдем .

Тогда

.

Рис. 14.4

 

Здесь контур треугольника обходится против часовой стрелки, как показано на рис. 14.4, а область  — треугольник . Непосредственное вычисление криволинейного интеграла  дает тот же результат, но требует большего количества выкладок.

14.4.10. Проверить, что выражение  является полным дифференциалом некоторой функции , и найти эту функцию.

Решение. , ; , . Очевидно, что , т. е. условие полного дифференциала выполнено.

Найдем функцию  по формуле , при этом воспользуемся независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования и соединим точки  и  ломаной линией, состоящей из двух звеньев:  и , соединяющих точки ,  и . Итак, .

На отрезке  и , отсюда . На отрезке  координата  не меняется (), а ордината изменяется от до , поэтому . Складывая вычисленные интегралы, получим . Учитывая, что в качестве начальной точки можно было выбрать не , а любую другую точку, запишем общий вид искомой функции: , где  – произвольная постоянная. 

 

  Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ Б)

14.5.1.  Вычислить криволинейные интегралы: а) , где  – отрезок прямой , заключенный между точками  и ; б) , где  – первая арка циклоиды , ; в) , где  – окружность ; г) , где  – четверть окружности , , лежащая в первом октанте.

14.5.2. Найти координаты центра масс винтовой линии , , , считая линию однородной.

14.5.3. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью  и поверхностью  ().

14.5.4. Вычислить криволинейный интеграл  вдоль линии: а) ; б) ; в) ; г) .

14.5.5. Вычислить: а) , где  – отрезок прямой от точки  до точки ; б) , где  – линия пересечения сферы  и цилиндра   (). Направление обхода линии против часовой стрелки при взгляде из начала координат.

14.5.6. Вычислить интеграл  по окружности  непосредственно и с помощью формулы Грина.

14.5.7. Проверить, что выражение  является полным дифференциалом некоторой функции , и найти эту функцию, если: а) ; б) .

 

       Ответы. 14.5.1. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.2. . 14.5.3. . 14.5.4. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.5. а) ; б) . 14.5.6. . 14.5.7. а) ; б) .

 

                                                            ЧАСТЬ В)