Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

13.2.1. Вычислить интеграл , где  – внешняя сторона полусферы .

Решение. Дано: , , . Полусфера  взаимно-однозначно проектируется на координатную плоскость  в круг , заданный неравенством .

Сведем поверхностный интеграл к соответствующему двойному:

. Перейдем к полярным координатам:

. При вычислении учтено, что , поэтому интеграл  даже не пришлось находить.

13.2.2. Вычислить поверхностный интеграл , где  — часть параболоида , отсеченная плоскостью . Выбрать ту сторону поверхности , для которой .

Решение. Имеем: , . Будем вычислять поток методом проектирования на одну координатную плоскость (а именно, плоскость ) по формуле, аналогичной приведенной в пункте 13.1:  Перед интегралом знак минус, потому что вектор  образует тупой угол с осью , что указано в условии задачи. Проекцией поверхности  на плоскость  является круг . Функция , задающая поверхность , равна . Учитывая все это, запишем: . Для вычисления этого двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

.

13.2.3. Вычислить интеграл , где  — внешняя сторона полусферы , .

Рис. 13.1

Решение. Векторное поле в этой задаче равно , т. е. , , .

Уравнение поверхности :  — нижняя половина сферы радиуса  с центром в точке . Эта поверхность однозначно проектируется в круг  на плоскости  (рис. 13.1). Для подстановки в формулу пункта 13.1 вычислим: . Учтем, что на внешней стороне нижней полусферы нормаль  составляет тупой угол с осью , а формула в п. 13.1 записана для случая, когда угол  – острый, поэтому поменяем знак: .

Введем полярные координаты с началом в центре круга по формулам , . Тогда  

.

13.2.4. Вычислите поверхностный интеграл , где  — часть поверхности гиперболоида , отсекаемая плоскостями  и , если нормальный вектор  к этой поверхности составляет тупой угол с осью .

Рис. 13.2

 

Решение. Из вида исходного интеграла получаем компоненты векторного поля: , . Уравнение поверхности . Линии пересечения с указанными в условии плоскостями (подставляем  и ) проектируются на плоскость  в окружности  и  соответственно, т. е. проекцией поверхности  на плоскость  является кольцо  (рис. 13.2).

Поскольку выбрана сторона поверхности с , то формула из пункта 13.1 в данном примере берется со знаком минус:

.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

.

 

13.2.5. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной плоскостью  и координатными плоскостями.

Рис. 13.3

Решение. Найдем сначала потоки векторного поля  через грани пирамиды, расположенные в координатных плоскостях. Вычисления будем проводить, следуя определению потока. Так, грань , расположенная в плоскости , является треугольником, ограниченным прямыми , , . Внешней нормалью к этой грани является вектор (см. рис. 13.3), а проекция поля на нормаль равна . Элемент площади . Учитывая, что в этой грани , получим

 

. 

Перейдем теперь к грани , расположенной в плоскости . Это треугольник, ограниченный прямыми , , . Нормаль , скалярное произведение . Элемент площади .  в подынтегральном выражении берется равным , поскольку в этой грани . Итак,

. Аналогично вычисляем поток через грань, расположенную в плоскости : .

Для вычисления потока через грань, лежащую в плоскости , выберем способ проектирования на плоскость  (в треугольник ). В формуле  имеем , , . Из уравнения плоскости выразим . Подставив все это в формулу для потока, получим .

 

Общий поток через полную поверхность пирамиды равен сумме потоков через отдельные грани: .

 

Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ А)

13.3.1. Вычислить , где  – внешняя сторона куба , , .

13.3.2. Вычислить , где  – внешняя сторона нижней половины сферы .

13.3.3. Вычислить , где  – внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями , ,  и .

13.3.4. Вычислить , где  – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения , цилиндра  и координатных плоскостей.

13.3.5. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность кругового конуса, основание которого находится на плоскости , а ось совпадает с осью . Высота конуса равна 1, радиус основания равен 2.

13.3.6. Найти поток вектора  через внешнюю сторону части сферы , заключенной в первом октанте.

Ответы. 13.3.1. . 13.3.2. . 13.3.3. . 13.3.4. . 13.3.5. . 13.3.6. .

 

ЧАСТЬ Б)

 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ