Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

15.3.1. Найти дивергенцию векторного поля .

Решение. Координаты векторного поля: , , . По формуле п. 15.1 находим .

Итак, .

15.3.2. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону замкнутой поверхности, образованной параболоидом вращения  и плоскостью .

Решение. Найдем . Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского: . Для вычисления тройного интеграла заметим, что пересечением параболоида и плоскости является окружность , лежащая в плоскости , и для любой точки круга  координата  меняется от  (на плоскости) до  (на параболоиде):

 

.

15.3.3. Вычислить поток вектора  через внешнюю сторону полусферы , .

Рис. 15.2

 

Решение. Полусфера не является замкнутой поверхностью, но дивергенция данного векторного поля равна нулю. Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток вектора  через любую замкнутую поверхность в этом случае тоже равен нулю. Поэтому, для вычисления потока  через полусферу , замкнем эту поверхность кругом  (рис. 15.2). Тогда полный поток по формуле Гаусса-Остроградского равен . Поток через круг  вычислим непосредственно. Внешней нормалью к кругу  является вектор , поэтому .

15.3.4. Вычислить поток векторного поля  через полную поверхность пирамиды с вершинами в точках , ,  и .

Решение. Найдем , тогда по формуле Гаусса-Остроградского полный поток , где  – объем пирамиды. Но , отсюда .

15.3.5. Вычислить поток вектора  через внешнюю сторону цилиндрической поверхности , .

Решение. Замкнем поверхность, добавив к ней два круга: нижнее основание цилиндра ,  (поверхность ) и верхнее основание ,  (поверхность ), как показано на рис. 15.3.

 

Рис. 15.3

Внешней нормалью к поверхности  является вектор , откуда , но на поверхности , значит,  и . Внешней нормалью к  является вектор , но на  координата , откуда

. Теперь воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского для вычисления искомого потока  через цилиндрическую (боковую) поверхность. Найдем , тогда . Здесь тройной интеграл по области , ограниченной цилиндрической поверхностью и кругами  и  мы свели к повторному, но , а , поэтому

.

 

15.3.6. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями   и .

Решение. Дивергенция этого поля вычислена в примере 15.3.1. Верхней границей области  является плоскость , нижней – поверхность , уравнение которой перепишем в виде . Это пределы интегрирования по переменной . Проекцией области  на плоскость  является фигура , ограниченная линией пересечения указанных в условии поверхностей. Подставив  в уравнение , найдем, что . Следовательно, это круг радиуса . По формуле Гаусса-Остроградского поток поля  равен

. Перейдем к полярным координатам:

 

 Задачи для самостоятельного решения

ДИСТАЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ В)

15.4.1. Найти , если: а) ; б) .

15.4.2. Решить задачи 13.3.1, 13.3.3, 13.3.4, 13.3.5 с помощью формулы Гаусса.

15.4.3. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями , , ,  и .

15.4.4. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями ,  и .

 

Ответы. 15.4.1. а) ; б) . 15.4.3. . 15.4.4. .