Поверхностные интегралы второго рода

ЗАНЯТИЕ №7

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЧАСТЬ А)

 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА

Поверхностные интегралы второго рода

Поверхностный интеграл второго рода можно определить, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода (см. пункт 12.2). Пусть в каждой точке поверхности  задано векторное поле . Очевидно, чтобы задать векторное поле, достаточно указать три его компоненты — скалярные функции , ,  от трех переменных ,  и . В каждой точке поверхности  выберем единичную нормаль  (рис. 12.1) так, чтобы она менялась непрерывным образом. Это можно сделать одним из двух способов: выбрать  или . Говорят, что при этом выбрана определенная сторона поверхности. Скалярное произведение , проинтегрированное по поверхности  в смысле интеграла первого рода, как раз и дает поверхностный интеграл второго рода, который иначе называют потоком векторного поля : . Учитывая координаты единичного вектора , запишем подынтегральное выражение так:

, но ,

, (ср. пункт 12.1), отсюда координатная запись потока вектора принимает вид

.

В последней формуле перед каждым двойным интегралом выбирается знак, совпадающий со знаком ,  или  соответственно (т. е. плюс, если вектор  составляет острый угол с соответствующей координатной осью, и минус, если этот угол тупой). Обратите внимание, что в каждом из интегралов подынтегральная функция выражена через переменные интегрирования, т. е. третья переменная исключена согласно уравнению, задающему поверхность . Такой метод сведения поверхностного интеграла второго рода к трем двойным (т. н. метод проектирования на три координатные плоскости) удобен только в случае, когда поверхность  взаимно-однозначно проектируется на каждую из трех координатных плоскостей (в , , ), иначе  необходимо разбить на несколько частей, что приводит к значительному увеличению объема вычислений. Поэтому мы рекомендуем метод проектирования на одну координатную плоскость. Пусть, для определенности, это будет плоскость , а нормаль  составляет острый угол с осью . Тогда подынтегральное выражение в поверхностном интеграле второго рода равно

.

Итак, поток векторного поля сводится к двойному интегралу по формуле

.

Все обозначения в этой формуле соответствуют рисунку 12.1. Переменная  в функциях , ,  заменяется на  из уравнения поверхности .

В заключение заметим, что векторная запись потока  эквивалентна записи  в координатной форме, где .

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ А)

13.3.1. Вычислить , где  – внешняя сторона куба , , .

13.3.2. Вычислить , где  – внешняя сторона нижней половины сферы .

13.3.3. Вычислить , где  – внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями , ,  и .

13.3.4. Вычислить , где  – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения , цилиндра  и координатных плоскостей.

13.3.5. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность кругового конуса, основание которого находится на плоскости , а ось совпадает с осью . Высота конуса равна 1, радиус основания равен 2.

13.3.6. Найти поток вектора  через внешнюю сторону части сферы , заключенной в первом октанте.

Ответы. 13.3.1. . 13.3.2. . 13.3.3. . 13.3.4. . 13.3.5. . 13.3.6. .

 

ЧАСТЬ Б)

 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Формула Грина

Пусть  — замкнутый контур, расположенный в плоскости . Криволинейный интеграл второго рода  можно свести к двойному по формуле Грина:

.

Здесь – область, ограниченная контуром , который обходится в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. При изменении направления обхода контура интеграл  меняет знак.

 — условие независимости интеграла  от пути, соединяющего точки  и . При этом выражение  является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных , а сама функция может быть найдена по формуле , где  — произвольная точка, в которой функции  и  определены.

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ Б)

14.5.1.  Вычислить криволинейные интегралы: а) , где  – отрезок прямой , заключенный между точками  и ; б) , где  – первая арка циклоиды , ; в) , где  – окружность ; г) , где  – четверть окружности , , лежащая в первом октанте.

14.5.2. Найти координаты центра масс винтовой линии , , , считая линию однородной.

14.5.3. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью  и поверхностью  ().

14.5.4. Вычислить криволинейный интеграл  вдоль линии: а) ; б) ; в) ; г) .

14.5.5. Вычислить: а) , где  – отрезок прямой от точки  до точки ; б) , где  – линия пересечения сферы  и цилиндра   (). Направление обхода линии против часовой стрелки при взгляде из начала координат.

14.5.6. Вычислить интеграл  по окружности  непосредственно и с помощью формулы Грина.

14.5.7. Проверить, что выражение  является полным дифференциалом некоторой функции , и найти эту функцию, если: а) ; б) .

 

       Ответы. 14.5.1. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.2. . 14.5.3. . 14.5.4. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.5. а) ; б) . 14.5.6. . 14.5.7. а) ; б) .

 

                                                            ЧАСТЬ В)

ДИСТАЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ (ЧАСТЬ В)

15.4.1. Найти , если: а) ; б) .

15.4.2. Решить задачи 13.3.1, 13.3.3, 13.3.4, 13.3.5 с помощью формулы Гаусса.

15.4.3. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями , , ,  и .

15.4.4. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями ,  и .

 

Ответы. 15.4.1. а) ; б) . 15.4.3. . 15.4.4. .

 

ЗАНЯТИЕ №7

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЧАСТЬ А)

 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА

Поверхностные интегралы второго рода

Поверхностный интеграл второго рода можно определить, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода (см. пункт 12.2). Пусть в каждой точке поверхности  задано векторное поле . Очевидно, чтобы задать векторное поле, достаточно указать три его компоненты — скалярные функции , ,  от трех переменных ,  и . В каждой точке поверхности  выберем единичную нормаль  (рис. 12.1) так, чтобы она менялась непрерывным образом. Это можно сделать одним из двух способов: выбрать  или . Говорят, что при этом выбрана определенная сторона поверхности. Скалярное произведение , проинтегрированное по поверхности  в смысле интеграла первого рода, как раз и дает поверхностный интеграл второго рода, который иначе называют потоком векторного поля : . Учитывая координаты единичного вектора , запишем подынтегральное выражение так:

, но ,

, (ср. пункт 12.1), отсюда координатная запись потока вектора принимает вид

.

В последней формуле перед каждым двойным интегралом выбирается знак, совпадающий со знаком ,  или  соответственно (т. е. плюс, если вектор  составляет острый угол с соответствующей координатной осью, и минус, если этот угол тупой). Обратите внимание, что в каждом из интегралов подынтегральная функция выражена через переменные интегрирования, т. е. третья переменная исключена согласно уравнению, задающему поверхность . Такой метод сведения поверхностного интеграла второго рода к трем двойным (т. н. метод проектирования на три координатные плоскости) удобен только в случае, когда поверхность  взаимно-однозначно проектируется на каждую из трех координатных плоскостей (в , , ), иначе  необходимо разбить на несколько частей, что приводит к значительному увеличению объема вычислений. Поэтому мы рекомендуем метод проектирования на одну координатную плоскость. Пусть, для определенности, это будет плоскость , а нормаль  составляет острый угол с осью . Тогда подынтегральное выражение в поверхностном интеграле второго рода равно

.

Итак, поток векторного поля сводится к двойному интегралу по формуле

.

Все обозначения в этой формуле соответствуют рисунку 12.1. Переменная  в функциях , ,  заменяется на  из уравнения поверхности .

В заключение заметим, что векторная запись потока  эквивалентна записи  в координатной форме, где .