Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

11.2.1. Вычислить тройной интеграл  в цилиндрических координатах, если область  ограничена поверхностями , , .

 

Решение. Перепишем уравнения ограничивающих поверхностей, подставляя , . Получим , , . Подынтегральная функция равна , . Пределы интегрирования ,  (что соответствует кругу ), . Теперь можно переходить к вычислению повторного интеграла, записанного в цилиндрических координатах:

.

11.2.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , ,  ().

Рис. 11.2

 

Решение. Найдем сначала линию пересечения конуса и параболоида . Исключая , получим , откуда  

(  не подходит). Итак, поверхности пересекаются по окружности , лежащей в плоскости  (см. рис. 11.2). Проекцией тела на плоскость  является полукруг ,  радиуса . Введем цилиндрические координаты , , . Перепишем уравнения ограничивающих поверхностей:  и . Очевидно, что при  (т. е. ) имеет место неравенство , что определяет пределы интегрирования по . Пределы интегрирования по  и  отвечают полукругу при , т. е. , откуда и : .

11.2.3. Вычислить объем тела, заданного неравенствами , , .

Рис. 11.3

 

Решение. Первое неравенство уже встречалось в примере 9.3.4 — оно задает круг радиуса  с центром в точке ; пределы интегрирования по : , откуда следует, что , т. е. . Таким образом, область интегрирования  представляет собой полукруг при  (рис. 11.3). Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение прямой  перепишем как , и это будет верхний предел интегрирования по  при . При значениях угла  или  верхний предел интегрирования по  определяется из уравнения окружности , что дает . Верхний предел интеграла по  в цилиндрических координатах равен . Объем тела равен . Вычислим интегралы отдельно. Первый является табличным: . Во втором преобразуем подынтегральную функцию:

. С такими преобразованиями, основанными на понижении степени тригонометрических функций, приходится часто сталкиваться при вычислениях в цилиндрических и сферических координатах. Теперь найдем второй интеграл: .

Объем равен .

11.2.4. Найти центр масс половины однородного шара радиуса .

 

Решение. Половину шара в декартовых координатах можно задать неравенствами 0, . В цилиндрических координатах второе неравенство примет вид . Из соображений симметрии ясно, что центр масс расположен на оси . Осталось найти значение координаты  для центра масс:  (ср. пример 10.3.8). Вычисление проведем в цилиндрических координатах: . Итак, центр масс полушара лежит на его оси на расстоянии  от центра основания.

11.2.5. Найти среднее расстояние от фиксированной точки на границе шара радиуса  до произвольной точки этого шара.

 

Решение. Пусть фиксированная точка, от которой мы будем искать расстояние, расположена в начале координат, а центр шара находится в точке , тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, имеет вид  или . Вычисления удобно проводить в сферической системе координат. Уравнение сферы принимает вид , а неравенство, задающее шар, имеет вид . Но , значит, . Для всех , следовательно, , т. е. угол  изменяется от  до . Требуется найти среднее значение функции  по шару, объем которого . Среднее значение (ср. пункт 10.2) равно , где элемент объема  в сферических координатах равен . .

Таким образом, среднее расстояние равно .

11.2.6. Найти интеграл , где область  задается неравенствами , , .

Решение. В сферических координатах неравенства, определяющие область, после сокращения на  запишутся в виде , , . Отсюда получаем пределы интегрирования по  () и по углам: поскольку , должны выполняться неравенства , , т. е. , а с учетом  имеем . Перепишем функцию: . Теперь запишем сам интеграл:

.

11.2.7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью   ().

Решение. Для вычисления объема перейдем к сферическим координатам. Уравнение поверхности перепишется так: , или . Нарисовать эту поверхность нелегко (и не нужно!); пределы интегрирования можно определить из неравенства , что дает ограничения по угловым переменным , .

.

 

11.3. Задачи для самостоятельного решения (ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ)

11.3.1.  В тройном интеграле  перейти к цилиндрическим или сферическим координатам, если : а) область, ограниченная цилиндром , плоскостью  и параболоидом ; б) часть шара  при , , ; в) общая часть двух шаров  и .

11.3.2. Вычислить с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам: а) ; б) , где область  задается неравенствами , .

11.3.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: а) , ; б)  и  (внутри конуса).

11.3.4. Найти центр масс однородного тела, ограниченного поверхностью .

Ответы. 11.3.1. а) ;

б) ;

в) . 

11.3.2. а) ; б) . 

11.3.3. а) ; б) (внутри сферы); (вне сферы).

11.3.4. .

ЧАСТЬ В)

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ