Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

10.3.1.  Записать тройной интеграл  в виде одного повторного всеми возможными способами, если область  ограничена поверхностями , ,  и .

Решение. Очевидно, для внутреннего интегрирования не подойдет переменная , поскольку она входит в три уравнения границ области . Если в качестве внутренней переменной взять , то пределы внутреннего интеграла — это  и . Оставшиеся уравнения (  и ) не определяют ограниченной области на плоскости . Найдем проекцию линии пересечения "крышек": , что вместе с  и  задает на плоскости  треугольник , по которому уже нетрудно расставить пределы. Осталось понять, какой предел внутреннего интегрирования (по ) нижний, а какой верхний. Это удобно сделать методом "пробной точки". Возьмем внутри треугольника  какую-нибудь точку, например, с координатами , . Подставив эти значения в уравнения "крышек" для  найдем , а для  получим . Значит, первая "крышка" определяет верхний предел интегрирования по , а вторая — нижний (т. к. ). С учетом всего сказанного запишем повторный интеграл: .

Если выбрать для внутреннего интегрирования переменную , то совершенно аналогично получим .

Другой порядок интегрирования во внешнем двойном интеграле в обоих случаях приводит к сумме двух повторных интегралов.

10.3.2. Расставить пределы интегрирования в  в порядке , если область  ограничена поверхностями , , .

Решение. Находим пределы внутреннего интегрирования из уравнения , откуда  или . Эти выражения  равны при  (линии пересечения "крышек"), что вместе с уравнениями  и  определяет область  — прямоугольник , . Повторный интеграл имеет вид .

10.3.3. В повторном интеграле  изменить порядок интегрирования на указанный: .

Решение. Пределы внешнего двойного интегрирования определяют область  — треугольник , . Внутреннее интегрирование дает ограничение . Таким образом, область интегрирования  ограничена поверхностями , , ,  и .

Рис. 10.2

Теперь примем  за переменную внутреннего интегрирования. Проекция  определяется уравнениями , , в которые не входит , и уравнениями, полученными приравниванием трех различных выражений для : , что дает линии ,  и . Итак, является квадратом. Прямая  разбивает его на два треугольника  и  (рис. 10.2). Определим пределы интегрирования по  для каждой из областей  и . В области  имеет место неравенство , а в области . Таким образом, верхний предел для обеих областей один и тот же: , а нижний меняется при переходе через прямую  с  в области  на  в области . Учитывая все это, запишем сумму повторных интегралов:

.

10.3.4. Вычислить тройной интеграл , если область  ограничена поверхностями , , , .

Рис. 10.3

Решение. Внутреннее интегрирование можно выполнить как по переменной , так и по переменной , потому что каждая из них выражается из уравнений границ ровно два раза, тогда как переменная  входит в три уравнения. Выберем в качестве внутренней переменной , тогда пределы интегрирования  и . Проекция области  на плоскость  (область ) определяется оставшимися уравнениями (не содержащими : , ) и проекцией пересечения границ по  (системой уравнений  и , из которой исключаем ), т. е. , откуда либо , либо . Все эти линии вместе определяют на плоскости  область , а именно, треугольник (см. рис 10.3). Теперь уже нетрудно расставить пределы и вычислить интеграл:

.

Еще раз отметим, что при расстановке пределов внутреннего интегрирования всегда надо проверять, какой предел является верхним, а какой — нижним. Сделать это можно, взяв в области  любую точку и подставив в уравнения границ интегрирования по переменной . В нашем примере очевидно, что .

10.3.5. Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью  и цилиндром .

Решение. Объем тела равен . В уравнениях поверхностей, ограничивающих область интегрирования  (, , , , ) ровно два раза встречаются переменные  и . Выберем в качестве внутренней переменной . Границы интегрирования по  определяются уравнениями  и . Теперь определим область внешнего двойного интегрирования . Ее границы задаются уравнениями, в которые не входит : , , . Очевидно, этих уравнений недостаточно, чтобы ограничить область . Найдем проекцию линии пересечения границ по :  откуда получим .

Рис. 10.4

 

Теперь область  определена (см. рис. 10.4), и можно записать повторный интеграл для вычисления объема: .

10.3.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение. Выберем для внутреннего интегрирования в  переменную , тогда . На плоскости  линии ,  не определяют конечной области, но, приравняв пределы интегрирования по , получим , что и дает недостающую границу области . Теперь ясно, что это треугольник , . Запишем повторный интеграл: .

10.3.7. Определить массу пирамиды, ограниченной плоскостями , , , , если плотность в каждой точке равна .

 

Решение. Масса тела  с переменной плотностью  равна интегралу . В нашем примере масса выражается интегралом .

10.3.8. Найти центр масс однородного конуса с радиусом основания  и высотой .

Рис. 10.5

 

Решение. Центр масс однородного тела имеет координаты, равные средним арифметическим значениям соответствующих координат. Из соображений симметрии понятно, что центр масс прямого кругового конуса лежит на его оси. Осталось найти, на каком расстоянии от вершины. Для этого введем систему координат, как показано на рисунке 10.5. Уравнение боковой поверхности , откуда при  получаем . Проекцией конуса на плоскость  является круг  радиуса , задаваемый неравенством .

Вычислим интеграл: .

В последнем интеграле перейдем к полярным координатам, тогда

.

Объем конуса равен , тогда по формуле для среднего арифметического получим . Итак, центр масс конуса делит его высоту в отношении , считая от вершины.

10.4. Задачи для самостоятельного решения (ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ ЧАСТЬ А))

10.4.1. Вычислить тройные интегралы:

а) ; б) , где  – область, ограниченная плоскостями , ,  и ; в) , где область  ограничена гиперболическим параболоидом  и плоскостями  и  ().

10.4.2. Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями: а) , , , ; б) , , , , ; в) ; , , , .

10.4.3. Найти центр масс однородного тела, ограниченного цилиндрами ,  и плоскостями  и .

10.4.4. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круговым цилиндром радиуса   и высоты , если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

Ответы. 10.4.1. а) ; б) ; в) . 10.4.2. а) ; б) ; в) . 10.4.3. . 10.4.4. . 

ЧАСТЬ Б)

(ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ)