Оценка параметров обобщенной регрессионной модели

Используется обобщенный МНК, а не обычный.

Обобщенный МНК базируется на Теореме Эйткена:

В классе линейных несмещенных оценок вектора параметром β обобщенной регрессионной модели оценка β^{͠ ̽} =A^̽Y=(X^TΩ^-1X)^-1X^TΩ^-1Y является эффективной.

Проверим несмещенность оценки Айткена: E{ β^{͠ ̽}}=E(A ^̽ Y)= A ^̽E(Y)= A ^̽Xβ+ A ^̽E(ε)=(X^TΩ^-1X)^-1X^tΩ^-1Xβ+0=β.

В силу третей предпосылки обобщенной регрессионной модели, матрица Ω^-1 положительно определена и симметрична. Существует такая невырожденная n×n матрица P, что Ω^-1=P^TP.

 

Автокорреляция случайных остатков, причины ее возникновения, виды и методы устранения.

Автокорреляция случайных остатков – определяется как корреляция между значениями случайных отклонений, т.е. не выполняется условие:

Причина – неправильный выбор спецификации модели

Методы устранения: ОМНК, ММП

ОМНК применяется при гетероскедастичности и автокоррелированности случайных остатков. Тогда оптимальным методом оценивания коэффициентов является:

где  – матрица обратных весов, в диагонали ρ. Обобщённый метод наименьших квадратов сводится к

Процедура Хилдрета-Лу

В данной процедуре производится прямой поиск значения коэффициента автокорреляции, которое минимизирует сумму квадратов остатков преобразованной модели. А именно задаются значения ρ из возможного интервала (0;1] с некоторым шагом. Для каждого из них производится авторегрессионное преобразование, оценивается модель обычным МНК и находится сумма квадратов остатков. Выбирается тот коэффициент автокорреляции, для которого эта сумма квадратов (белого шума) минимальна.

К линеаризованной модели добавляется

, N- число частей

Процедура Кохрейна-Оркатта

Шаг 1. Оценка исходной модели методом наименьших квадратов и получение остатков модели.

Шаг 2. Оценка коэффициента автокорреляции остатков модели

Шаг 3. Авторегрессионное преобразование данных (с помощью оцененного на втором шаге коэффициента автокорреляции) и оценка параметров преобразованной модели обычным МНК.

Оценки параметров преобразованной модели и являются оценками параметров исходной модели, за исключением константы, которая восстанавливается делением константы преобразованной модели на 1-r. Процедура может повторяться со второго шага до достижения требуемой точности.

Процедура Дарбина

Путем преобразований получаем:  

Это авторегрессионная модель. В ней предопределенная переменная yt-1 коррелирует со случайным остатком ксиt-1.

Значит оценивание МНК этой модели по уравнениям наблюдений приведет к самостоятельным оценкам параметров.