Метод введення нових змінних.

 

Приклад 4. Розв’яжіть систему

 

 

Розв’язування. Розв’яжемо дану систему методом введення нових змінних: Позначимо

.

Зробивши заміну, дістанемо нову систему:

  

Використаємо метод алгебраїчного додавання, для цього друге рівняння домножимо на (-2)  і додамо до першого.

 

Після виконання додавання отримаємо рівняння з однією змінною ; Звідси .

Повернемось до попередніх змінних:  

 а друге рівняння на 3 і викоємо додавння.

 

 

Звідси 5х=25, х=5 і у=3. Отже коренями системи є (5;3)

 

Відповідь:(5; 3).

 

Графічний метод.

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків: ці координати і є розв’язками системи. Але спочатку виконаємо рівносильні перетворення заданої системи так, щоб було зручно будувати графіки всіх рівнянь, що входять до системи. Потім будуємо відповідні графіки і знаходимо координати точок перетину відповідних кривих: ці координати і є розв’язками системи

Приклад 5. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Обидва рівняння якої є рівняннями другого степеня. Графіком рівняння  =25 є коло, а графіком рівняння у = 5 -  – парабола (рис.1) Ці графіки мають три спільні точки: (0;5), (-3;-4), (3;-4).

 

 

                     Рис.1

Легко перевірити, що координати кожної з цих точок є розв’язком як першого, так і другого рівнянь системи. Тобто, система має 3 розв’язки.

Відповідь: (0;5), (-3;-4), (3;-4).

Але цей спосіб не є основним способом розв’язування системи рівнянь, тому що він не завжди дає точні результати.

 

Види систем рівнянь

Симетричною системою рівнянь називається система, всі рівняння якої симетричні.

Вираз f (x,y) називається симетричним, якщо при заміні   х на у, у на х він не змінюється.

Приклади симетричних виразів:

f(x,y) = х + у; f(x,y) =   f(x,y) =  

f(x,y) =  + ху;           f(x,y) = .

 

Вирази (x+y) і  xy називаються основними симетричнимимногочленами з двома змінними. Усі симетричні вирази з двома змінними виражаються через основні симетричні многочлени, наприклад:

 

 =  - ху;  - 2ху;

 = (х+у)(  - 3ху) = - 3(х + у)ху.

Симетричною системою рівнянь називається система, усі рівняння якої симетричні. Розв’язати симетричну систему можна, наприклад, за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні основні симетричні многочлени.

Приклад 6. Розв’яжіть систему

Оскільки  - 2ху, то, поклавши х+у=  приходимо до такої ситеми:   Із цієї системи знаходимо ; Звідси має сукупність ;

 

Перша система сукупності має розв’язки (3;5), (5;3); друга система розв’язків не має.

Відповідь:(3;5), (5;3).

Система двох рівнянь з двома змінними називається однорідною, якщо ліві частини її рівнянь, що містять змінні, є однорідними многочленами степеня п від двох змінних. Таким чином, однорідна система з двома змінними має вигляд

 

Приклад 7. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Ліві частини обох рівнянь системи – однорідні многочлени другого степеня від змінних х і у. Якщо в першому рівнянні покласти=0, то дістанемо

Однак пара (0;0), що є розв’язком першого рівняння системи, не задовольняє другому рівнянню, тому що  (це не приведе до втрати коренів). Поділивши обидві частини першого рівняння на

 2+ - =0 =0. Зробивши заміну – t - 2= 0 . Тоді  у=2х (х  або у=-х (х

Таким чином, початкова система рівносильна сукупності двох систем рівнянь:

 

Перша з цих систем  має два розв’язки: ;

Друга система несумісна. Звідси (1;2), (-1;-2) – розв’язок початкової системи.

Відповідь: (1;2), (-1;-2).

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ.

1.Що таке система двох рівнянь з двома змінними?

2.Що називається розв’язком системи двох рівнянь з двома змінними?

3. Що означає розв’язати систему двох рівнянь з двома змінними?

4. Які дві системи рівнянь називаються рівносильними?

5. Назвати основні способи розв’язування систем рівнянь з двома змінними.

В чому полягає кожний із способів?

 

ВПРАВИ.

Розв’язати систему рівнянь:

Середній рівень

 

1)      2)     3)      4)

 

 

Достатній рівень

5)     6) . 7)      8)   

 

Високий рівень

9)    10)   11)

 

 

Перевірочна робота

ВАРІАНТ 1

Початковий і середній рівні.

 

1. Укажіть пару рівносильних рівнянь:

            А)2х - 6=4  і х - 2=4; Б) 3х - 6=0 і 2х=4;

            В) х² - 9=0 і х+3=0;       Г)  х² - 3х – 4=0 і х+1=0.

 

2. Яке рівняння не має коренів?

         А) = 2;     Б)   = 1;       В) х³ = 2;         Г)  = 1.

 

3. Укажіть систему, яка відповідає умові задачі: «Число х на 3 менше від числа у, а їхній добуток дорівнює 88. Чому дорів­нюють ці числа?».

А)     Б)   В) Г)

4..Знайдіть множину розв’язків нерівності 3(х - 2)  4х – 9.

5. Розв’яжіть рівняння х⁴ - 8х = 0.

  

6. Розв’яжіть нерівність | x −1|  2.

 

 

Достатній рівень

7. Розв’яжіть рівняння 0.

 8. Розв’яжіть систему рівнянь

9. Двоє робітників виготовили за перший день 100 деталей. За другий день перший робітник виготовив деталей на 20 % більше, ніж за перший день, а другий робітник - на 10 % більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили 116 деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник?

 

Високий рівень

У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.

10. Розв’яжіть рівняння

 

ВАРІАНТ 2

Початковий і середній рівні.

 

1. Яке рівняння рівносильне рівнянню sin x =2?

             А) tg x = 2; Б) =2;      В)2^х + 3=2       Г)  = -2.

 

2. Яке рівняння не має коренів?

            А) = 0,9;   Б) = −1;  В) х³ = −0,9;   Г)  = −1.

 

3.Укажіть систему рівнянь, яка відповідає умові задачі: «Периметр прямокутника

дорівнює 28 дм, а діагональ дорівнює 10 дм. Знайдіть сторони а і b прямокутника».

А) Б)   В)    Г)   

 

4.Знайдіть множину розв’язків нерівності 2(х + 3)  4х +10.

  

5. Розв’яжіть рівняння х³ – х² = 0.

6. Розв’яжіть нерівність | x +2|  3.                                                                                                        

.

Достатній рівень

 

7. Розв’яжіть рівняння 2^3х−8∙2^2х−2^х+8=0

 8. Розв’яжіть систему рівнянь

 

9. Знайдіть двозначне число, якщо відомо, що цифра одиниць шуканого числа на 2 більше цифри його десятків і добуток числа на суму його цифр дорівнює 144.

 

Високий рівень

У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.

10 Розв’яжіть рівняння: 6sin² x − 3sin x cos x − 5cos² x = 2.

 

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ