Ціле раціональне рівняння. Теорема Безу.

 

Дане рівняння х³ - 5х² - 2х + 24=0, яке називаєтьсярівнянням степеня вище другого або рівнянням вищого степеня ми розв’язати не можемо, тому що немає знань.

Алгебра довгий час розвивалася як наука про розв’язування рівнянь і насамперед рівнянь  

+ a_n = 0 (n ).

 

Рівняння виду + a_n = 0 (n )

називаються алгебраїчними рівняннями степеня n.

 

Якщо n =1, то a ₀ x + a ₁ = 0 - лінійне рівняння.

Якщо n = 2, то a ₀ x ² + a ₁ x + a ₂ = 0 – квадратне рівняння.

Якщо n  2, то рівняння називається рівнянням степеня вище другого або рівнянням вищого степеня.

Алгебраїчне рівняння степеня n має не більше n дійсних коренів.

Рівняння + a_n =0  називається незведеним цілим раціональним рівнянням ().

Рівняння + p_n =0  називається зведеним цілим раціональним рівнянням.

Позначимо P_n(x)= + a_n. Для рівняння справедлива теорема Безу: многочлен Р_n(х) ділиться без остачі на двочлен (х - а) в тому і тільки тому випадку, коли а корінь многочлена Р_n(х).

Зауваження. Теорема Безу нерідко формується у такій спосіб: остача від ділення многочлена Р_n(х) на двочлен (х - а) дорівнює значенню цього многочлена Р_n(х) при  х = а, тобто Р_n(х)=r, де r- остача від ділення многочлена Р_n(х) на двочлен (х - а).

Якщо Р_n(х) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то всякий цілий корінь многочлена Р_n(х) є дільником вільного члена a_n.

Якщо нескоротний дріб є коренем незведеного цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами +

+ a_n =0, то  є дільником старшого коефіцієнта а₀, а р є дільником вільного члена a_n.

Тільки у 18 столітті була доведена основна теорема алгебри, про розв’язування рівнянь степеня n, яка була названа в честь французького математика Етьєн Безу.

Схема (алгоритм) розв’язування рівнянь вищих степенів, що мають хоча б один цілий корінь:

1) знаходять множину дільників вільного члена a_n;

2) за теоремою Безу перевіряють, які з цих дільників є розв’язком рівняння

Р_n(х)=0;

3)діленням у стовпчик знаходять  частку від ділення Р_n(х) на (х-х₁), де х₁- корінь рівняння Р_n(х)=0;

4) записують частку Q_n-1(x) як багаточлен степеня (n-1):  Q_n-1(x)  

Р_n(х)= (х-х₁)∙ Q_n-1(x), де Q_n-1(x) многочлен степеня (n-1);

5) визначають, якщо це можливо, корені многочлена Q_n-1(x), які також є коренями початкового рівняння.

 

Приклад 2. Розв’язати рівняннях³ - 5х² - 2х + 24=0.

Розв’язування. Виписуємо дільники вільного члена 24:

Підставляючи у початкове рівняння замість х=-1, дістаємо 20 0, отже х=-1 не є коренем початкового рівняння.

При х=1 маємо 18 0, отже х=1 не є коренем.

При х=-2, маємо -24+24=0, отже х=-2 є коренем початкового рівняння.

За теоремою Безу початковий многочлен без остачі ділиться на (х+2). Виконаємо ділення у стовпчик:

   _х³ - 5х² - 2х + 24

     х³+2х²

          -7 х² - 2х       

          -7х² - 14х

                     12х + 24

                    12х + 24

                        0

Таким чином  х³ - 5х² - 2х + 24=(х+2)(х² - 7х + 12), отже  початкове рівняння набуває вигляду (х+2)(х² - 7х + 12)=0. Це рівняння рівносильне сукупності рівнянь х+2=0 і   х² - 7х + 12=0. Розв’язок першого з яких уже знайдено х= -2. Розв’язуємо друге рівняння х² - 7х + 12=0, яке має корені х=3 і х=4. Отже початкове рівняння має три корені: х₁=-2, х₂=3, х₃=4.

Відповідь:

 

2) Розв’язування рівняння з однією змінною методом підстановки.

Якщо в рівнянні є одинакові вирази зі змінною величиною, які можна замінити новою змінною величиною, то отримаємо більш прості рівняння.

Приклад3.  Розв’язати рівняння(х² +3х)² +2(х²+3х) -120=0.

Розв’язування.

Якщо х²+3х= у, то отримали зведене квадратне рівняння у² +2у -120=0; звідси у₁= -12 і у₂ = 10, тому отримали два рівняння х²+3х=-12 і х²+3х=10. Розв’яжемо їх кожне окремо відносно х. Розв’яжемо перше з них

х²+3х=-12, х² + 3х +12=0,

Розв’яжемо друге з них х² + 3х – 10 = 0, D=49, =  ;

= -2 і = 5. Отже рівняння (х² +3х)² +2(х²+3х) -120=0 має два корені

= -2 і = 5.

Відповідь: -2; 5.

3) Розв’язування рівняння з однією змінною графічним методом.

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язування.

Дане рівняння можна подати у вигляді двох функцій у= і .

Зобразимо на одному малюнку графіки функцій у= і . (мал.1)

 

Мал.1

 

Точкам перетину графіків цих функцій відповідають ті значення аргументу х, при яких співпадають значення функцій, тобто корені даного рівняння.

Із малюнку видно, що рівняння має два корені, один із яких знаходиться на інтервалі (0;1), а другий – на інтервалі (2;3), а більш конкретніше х=0,2 і х=2,2

Такий метод розв’язування рівнянь називається графічним.

Графічний метод використовують якщо рівняння задано у вигляді:

f (x)=g (x).

Зображають на одному малюнку графіки функцій у= f (x) і g (x) та знаходимо їх точки перетину. Точкам перетину графіків цих функцій відповідають ті значення аргументу х, при яких співпадають значення функцій, тобто корені даного рівняння.

Графічний метод показує скільки коренів буде мати рівняння та наближено указує проміжки на числовій прямій, де ці корені можуть знаходитись .(приклад 4, мал.1).

Якщо рівняння має вид f (x)=0, то в якості функції, яка стоїть у правій частині буде у=0. Графіком її буде вісь х, тому коренями рівняння f (x)=0 будуть абсциси точок перетину графіка функції у= f (x) з віссю х.