Основні види рівнянь з однією змінною.

Розв’язування рівняння з однією змінною передбачає два кроки:

Ø перетворення рівняння до стандартного (до одного з основних видів рівнянь з однією змінною);

Ø розв’язування стандартного рівняння.

Перетворення рівняння до стандартного (до одного з основних видів рівнянь з однією змінною) здійснюються за відомими формулами, які завжди можна відновити в пам’яті при допомозі довідників або ж просто їх пам’ятати.

Рівняння з однією змінною поділяються на: алгебраїчні та трансцендетні.

Алгебраїчні - це рівняння утворені з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до цілого додатного степеня і добування арифметичного кореня.

Алгебраїчні поділяють на раціональні (лінійні – 4х+8 , квадратні – 2х² +3х – 6=0, біквадратні) та ірраціональні (. Раціональні можуть бути як цілими (2х² +3х – 6=0) так і дробовими (

Всі неалгебраїчні рівняння називаютьсятрансцендентними. До них відносяться: показникові, логарифмічні, тригонометричні. Тому основними (стандартними) видами рівнянь є:

 

Основні види (стандартні)  рівнянь (ня) з однією змінною:

1. Лінійне рівняння  ах + b = 0.

2. Квадратне рівняння ах² + b х + с = 0.

3. Просте степеневе рівняння

4. Показникове рівняння

5. Логарифмічне рівняння

6. Прості тригонометричні рівняння   tg x = a,

ctg x = a.

Лінійні рівняння

   

Якщо а 0, то х= - єдиний корінь;

Якщо а=0,b=0, то коренем рівняння буде будь-яке дійсне число;

Якщо а=0, 0, то рівняння не має коренів.

Квадратні рівняння

2.1. Повне квадратне рівняння:

;

;

якщо  0, то два дійсні корені

 

2.2. Неповне зведене квадратне рівняння:

За теоремою Вієта:

;

.

 

2.3. Неповне квадратне рівняння:

· ;

· ;

; .

Просте степеневе рівняння

Просте степеневе рівняння  при різних n і а (n- натуральне число):

1) при будь-якому додатному а рівняння має:

а) при будь-якому непарному n (n=2k-1, kєN) тільки один дійсний корінь х=

б) при будь-якому парному n (n=2k, kєN) тільки два дійсних корені    х= х=-

2) при а= 0 рівняння має тільки один корінь х=0;

3) при будь-якому від’ємному а рівняння має:

а) при будь-якому непарному n (n=2k-1, kєN) тільки один дійсний корінь х=

б) при будь-якому парному n (n=2k, kєN) не має дійсних коренів.

       

Показникове рівняння.

Методи розв’язування простих показникових рівнянь. 

1. Порівняння основ: ; Якщо основи рівні, то і показники рівні.

2.Порівняння показників:(; Якщо показники рівні, то і основи рівні.

3.За означенням степенів:   .

Логорифмічне рівняння:

Якщо  , рівняння не має розв’язку.

Методи розв’язання простих логарифмічних рівнянь.

1) За означенням: ;

2) За порівнянням: .

Тригонометричні рівняння:

v ;

Окремі випадки:

ü

ü  

ü

v  

Окремі випадки:

ü

ü  

ü   

v

v