Однорідні рівняння. Розв’язування однорідних рівнянь методом ділення кожного доданка на Старший степінь.

Однорідні рівняння – це рівняння, в яких кожен з доданків має один і той же степінь. Такі рівняння розв’язуються методом ділення кожного доданка на старший степінь.

Приклад 5.

Розв’язати рівняння.
Розв’язування. Всі доданки мають один і той же степінь.    Виконаємо перетворення

Старший степінь 2х, то кожний доданок розділимо на

  тоді

Введемо підстановку. Нехай

Звідси маємо

D =

, тому

 отже

х = 0.

Відповідь: х=0.

Схема (алгоритм) розв’язування рівнянь з однією змінною:

1) спочатку виконаймо перетворення, використовуючи властивості та формули;

2) використаймо один із методів: розкладання на множники, підстановки (введення нової змінної величини), графічний, ділення кожного доданка на старший степінь;

3) розв’яжемо найпростіші відомі рівняння (лінійне, квадратне, степеневе, показникове, логарифмічне, тригонометричні).

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв’язування.

Необхідно позбутися від 3 у правій частині, для цього виконаємо перетворення. Подамо 

 тоді початкове рівняння буде мати вид:

 

Розділимо на старший степінь

t  Вводимо підстановку

  t

D =

tg  = 1;  = arc tg 7 + πn, n∈ N;

tg ∈ N.

Відповідь:  = arc tg 7 + πn, n∈ N; ∈N

 

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1.Яку рівність із змінною називають рівнянням?

2. Що означає розв’язати рівняння з однією змінною?

3. Що називається коренем рівняння з однією змінною?

4.Сформулювати основні властивості рівнянь та наслідок з них.

5.Які два рівняння називаються рівносильними?

6.Які основні види   рівнянь з однією змінною ви знаєте?

7. Скільки коренів має лінійне рівняння?

8. Скільки коренів має квадратне рівняння?

9. Скільки коренів має просте степеневе рівняння при різних n і а (n- натуральне число)?

10. Скільки коренів має просте показникове рівняння при різних а і b?

11. При яких значеннях а тригонометричні рівняння sinx=a та cosx=a  не мають розв’язків          

12. Які етапи (кроки) необхідно виконати, щоб розв’язати рівняння з однією змінною.

13. Назвати основні методи розв’язування рівнянь з однією змінною.

14. Як розкласти многочлен на множники способом групування?

15. Сформулюйте теорему Безу.

16.Коли застосовують метод підстановки (введення нової змінної)?

17. В чому полягає метод розкладання на множники.

18. В чому полягає графічний метод.

ВПРАВИ

Початковий та середній рівень.

1.Які рівняння рівносильні: sin x =2;  tg x = 2; =2; 2^х + 3=2;    = -2;

    2х - 6=4; х - 2=4; 3х - 6=0; 2х=4; х² - 9=0 х+3=0; х² - 3х – 4=0 х+1=0.

 

2. Яке рівняння не має коренів: = 0,9; = −1;  х³ = −0,9;  = −1; sin x =2   = 1; х³ = 2;    = 1.

 

3. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х+4=0;

2)  

3) 2х²+5х-3=0;

4) х⁴ - 8х = 0;

5)х³ – х² = 0;

6) =3+х.

Достатній рівень

 

7) log₃²x - 4log₃x+3=0;

8) 0;

9) х³+3х²+5х+3=0;

10) cos² x - 3sinx cosx +1= 0;

11)2^3х−8∙2^2х−2^х+8=0;

12) sin2x+  =0;

Високий рівень

13) Розв’яжіть рівняння

14) 9 = 0;

15) 2 = 5 ;

16) sinx+sin2x+sin3x = 0;

17) 6sin² x − 3sin x cos x − 5cos² x = 2.

 

САМОСТІЙНА РОБОТА №1

Варіант -1

 

Розв’язати рівняння

 

6б  1. х² – 2х- 8=0;

2. х³ +16х=0;

     

9б 3. 3^3х−9∙3^2х−3^х+9=0;

4.  =2+х;

 

 10-11б

5. х³+3х² +5х+3=0.

6.6sin² x − 3sin x cos x − 5cos² x = 2.

 

Варіант-2

 

Розв’язати рівняння

 

6б  1. х² – 6х + 8=0;

2. х⁴  - 16х² =0;

     

9б 3.  x+  -2=0;

4.  =3 - х;

 

 10-11б

5. х³+3х² +5х+3=0.

6.

 

 

Тема. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО РІВНЯНЬ