Расчет траектории центра упругого колеса

Траекторию центра упругого колеса ∆ys(t) [мм] рассчитаем по формуле:

 

 

где ∆yс – траектория движения центра жесткого колеса

Tn= 0 (начальное значение)

Tk=2 (конечное значение)

ht=0.0333 (шаг)

С помощью выведенных (шаг 1.1) уравнений траектории движения центра жесткого колеса на участках A-B, B-C и C-D и формулы траектории центра упругого колеса ∆ys(t) при любом времени t составим таблицу в MicrosoftExcel и получим с помощью данных таблицы графическое изображение траектории движений центров жесткого и упругого колес.

Анализируем полученный результат (графики траектории центра жесткого колеса и траектории центра упругого колеса) и сравним эти графики.

 

Таблица 4

Значения траекторий движения центров жесткого и упругого колес

№	τ	W ys(τ)	t	ys(t)	yc(t)
1	-0,264	0	0	-0,02	0
2	-0,2596	0,02075	0,033333	-0,012	-1,08E-03
3	-0,2552	0,082774	0,066667	-6,48E-03	-4,34E-03
4	-0,2508	0,185391	0,1	-3,24E-03	-9,84E-03
5	-0,2464	0,327479	0,133333	-2,23E-03	-0,018
6	-0,242	0,507479	0,166667	-3,42E-03	-0,028
7	-0,2376	0,723420	0,2	-6,84E-03	-0,041
8	-0,2332	0,972936	0,233333	-0,013	-0,054
9	-0,2288	1,253293	0,266667	-0,021	-0,068
10	-0,2244	1,561419	0,3	-0,031	-0,081
11	-0,22	1,893939	0,333333	-0,042	-0,094
12	-0,2156	2,247209	0,366667	-0,055	-0,108
13	-0,2112	2,617359	0,4	-0,068	-0,121
14	-0,2068	3,000334	0,433333	-0,082	-0,134
15	-0,2024	3,391937	0,466667	-0,095	-0,148
16	-0,198	3,787878	0,5	-0,108	-0,161
17	-0,1936	4,183819	0,533333	-0,122	-0,174
18	-0,1892	4,575423	0,566667	-0,135	-0,188
19	-0,1848	4,958397	0,6	-0,148	-0,201
20	-0,1804	5,328547	0,633333	-0,162	-0,214
21	-0,176	5,681818	0,666667	-0,175	-0,228
22	-0,1716	6,014338	0,7	-0,188	-0,241
23	-0,1672	6,322464	0,733333	-0,202	-0,254
24	-0,1628	6,602821	0,766667	-0,215	-0,268
25	-0,1584	6,852337	0,8	-0,228	-0,281
26	-0,154	7,068278	0,833333	-0,242	-0,294
27	-0,1496	7,248278	0,866667	-0,255	-0,308
28	-0,1452	7,390365	0,9	-0,268	-0,321
29	-0,1408	7,492983	0,933333	-0,282	-0,334
30	-0,1364	7,555007	0,966667	-0,295	-0,348
31	-0,132	7,575757	1	-0,308	-0,361
32	-0,1276	7,555007	1,033333	-0,321	-0,348
33	-0,1232	7,492983	1,066667	-0,334	-0,334
34	-0,1188	7,390365	1,1	-0,342	-0,321
35	-0,1144	7,248278	1,133333	-0,345	-0,308
36	-0,11	7,068278	1,166667	-0,342	-0,294
37	-0,1056	6,852337	1,2	-0,333	-0,281
38	-0,1012	6,602821	1,233333	-0,32	-0,268
39	-0,0968	6,322464	1,266667	-0,307	-0,254
40	-0,0924	6,014338	1,3	-0,294	-0,241
41	-0,088	5,681818	1,333333	-0,281	-0,228
42	-0,0836	5,328547	1,366667	-0,267	-0,214
43	-0,0792	4,958397	1,4	-0,254	-0,201
44	-0,0748	4,575423	1,433333	-0,241	-0,188
45	-0,0704	4,183819	1,466667	-0,227	-0,174
46	-0,066	3,787878	1,5	-0,214	-0,161
47	-0,0616	3,391937	1,533333	-0,201	-0,148
48	-0,0572	3,000334	1,566667	-0,187	-0,134
49	-0,0528	2,617359	1,6	-0,174	-0,121
50	-0,0484	2,247209	1,633333	-0,161	-0,108
51	-0,044	1,893939	1,666667	-0,147	-0,094
52	-0,0396	1,561419	1,7	-0,134	-0,081
53	-0,0352	1,253293	1,733333	-0,121	-0,068
54	-0,0308	0,972936	1,766667	-0,107	-0,054
55	-0,0264	0,723420	1,8	-0,094	-0,041
56	-0,022	0,507479	1,833333	-0,081	-0,026
57	-0,0176	0,327479	1,866667	-0,067	-0,017
58	-0,0132	0,185391	1,9	-0,054	-9,56E-03
59	-0,0088	0,082774	1,933333	-0,041	-4,28E-03
60	-0,0044	0,020750	1,966667	-0,029	-1,08E-03
61	-2,9E-16	0	2	-0,019	0

 

Рис.5. Траектории: 1) центра жесткого колеса ∆ y с(t)(синяя линия)

                       2) центра упругого колеса ∆ ys (t)(красная линия)

Вывод. Изрис. 5 видим, что траектория центра упругого колеса ∆ys(t):

1. Не имеет скачков скорости ее изменения;

2. Запаздывает на спуске и опережает при подъёме ∆yc(t) на величину Ts – эффективное время сглаживания траектории упругими колесами.

Шаг 1. 4. Расчет сглаженной скорости изменения высоты центра упругого колеса

    График функции Wvs(τ), одновременносглаживающей и дифференцирующей зависимость от времени ∆yс(t) при (–2*ts ≤ τ ≤ 0)методом скользящего усреднения и дифференцирования. Для составления таблицы зависимости сглаженной скорости изменения высоты центра упругого колеса от τ (при при –2*Ts ≤ τ ≤ 0) в MicrosoftExcel воспользуемся формулой и построим график функции Wvs(τ).

 

скорость изменения центра жесткого колеса

скорость изменения центра упругого колеса

 

 

Таблица 5

Значения скорости изменения

высоты центра упругого колеса от τ

№	τ	t	Wvs(τ)	Vyc(t)	Vys(t)
1	-0,264	0	-2,20897E-14	0,268	-4,85E-05
2	-0,2596	0,033333	-9,423377304	0,326	0,067
3	-0,2552	0,066667	-18,74351011	0,367	0,134
4	-0,2508	0,1	-27,85828511	0,39	0,2
5	-0,2464	0,133333	-36,6678389	0,398	0,261
6	-0,242	0,166667	-45,07565217	0,4	0,312
7	-0,2376	0,2	-52,98960717	0,4	0,351
8	-0,2332	0,233333	-60,32299694	0,4	0,377
9	-0,2288	0,266667	-66,99547533	0,4	0,391
10	-0,2244	0,3	-72,93393727	0,4	0,397
11	-0,22	0,333333	-78,07331974	0,4	0,399
12	-0,2156	0,366667	-82,35731458	0,4	0,4
13	-0,2112	0,4	-85,73898544	0,4	0,4
14	-0,2068	0,433333	-88,18128204	0,4	0,4
15	-0,2024	0,466667	-89,65744606	0,4	0,4
16	-0,198	0,5	-90,15130434	0,4	0,4
17	-0,1936	0,533333	-89,65744606	0,4	0,4
18	-0,1892	0,566667	-88,18128204	0,4	0,4
19	-0,1848	0,6	-85,73898544	0,4	0,4
20	-0,1804	0,633333	-82,35731458	0,4	0,4
21	-0,176	0,666667	-78,07331974	0,4	0,4
22	-0,1716	0,7	-72,93393727	0,4	0,4
23	-0,1672	0,733333	-66,99547533	0,4	0,4
24	-0,1628	0,766667	-60,32299694	0,392	0,4
25	-0,1584	0,8	-52,98960717	0,333	0,4
26	-0,154	0,833333	-45,07565217	0,199	0,396
27	-0,1496	0,866667	-36,6678389	8,01E-03	0,382
28	-0,1452	0,9	-27,85828511	-0,185	0,343
29	-0,1408	0,933333	-18,74351011	-0,325	0,265
30	-0,1364	0,966667	-9,423377304	-0,389	0,146
31	-0,132	1	-6,29519E-13	-0,4	2,74E-06
32	-0,1276	1,033333	9,423377304	-0,4	-0,146
33	-0,1232	1,066667	18,74351011	-0,4	-0,265
34	-0,1188	1,1	27,85828511	-0,4	-0,343
35	-0,1144	1,133333	36,6678389	-0,4	-0,382
36	-0,11	1,166667	45,07565217	-0,4	-0,396
37	-0,1056	1,2	52,98960717	-0,4	-0,4
38	-0,1012	1,233333	60,32299694	-0,4	-0,4
39	-0,0968	1,266667	66,99547533	-0,4	-0,4
40	-0,0924	1,3	72,93393727	-0,4	-0,4
41	-0,088	1,333333	78,07331974	-0,4	-0,4
42	-0,0836	1,366667	82,35731458	-0,4	-0,4
43	-0,0792	1,4	85,73898544	-0,4	-0,4
44	-0,0748	1,433333	88,18128204	-0,4	-0,4
45	-0,0704	1,466667	89,65744606	-0,4	-0,4
46	-0,066	1,5	90,15130434	-0,4	-0,4
47	-0,0616	1,533333	89,65744606	-0,4	-0,4
48	-0,0572	1,566667	88,18128204	-0,401	-0,4
49	-0,0528	1,6	85,73898544	-0,404	-0,4
50	-0,0484	1,633333	82,35731458	-0,4	-0,4
51	-0,044	1,666667	78,07331974	-0,377	-0,401
52	-0,0396	1,7	72,93393727	-0,332	-0,4
53	-0,0352	1,733333	66,99547533	-0,269	-0,396
54	-0,0308	1,766667	60,32299694	-0,197	-0,382
55	-0,0264	1,8	52,98960717	-0,129	-0,356
56	-0,022	1,833333	45,07565217	-0,066	-0,313
57	-0,0176	1,866667	36,6678389	-2,54E-03	-0,258
58	-0,0132	1,9	27,85828511	0,061	-0,195
59	-0,0088	1,933333	18,74351011	0,123	-0,129
60	-0,0044	1,966667	9,423377304	0,183	-0,064
61	-2,9E-16	2	6,29021E-13	0,24	-4,22E-04

Рис. 6. Скорость Vys (t) изменения траектории центра упругого колеса

Вывод.

1. Сглаживание графика функции Vys(t) действительно происходит благодаря амортизации.

2. Амортизация необходима из-за значительных величин скоростей жесткого колеса.

3. Скорость  упругого колеса запаздывает на время Ts – эффективное время сглаживания(с помощью этого моделируется пневматическая шина).

Этап 2

Расчет динамических характеристик

Механической системы

Согласно принятым допущениям при малых изменениях длины пружины Δ Lpr (t) реакция пружины ( Δ Fpr) находится по линейному закону Гука:

Δ Fpr (t)= Kpr Δ Lpr (t)= Kpr [ Δ ys (t)- Δ ym (t)].

Здесь Кр r – коэффициент восстанавливающей силы упругой пружины;

Δ ys (t) – ранее найденная временная зависимость относительной высоты оси упругого колеса.

Δ ym (t) = ym (t)- ym (0) – изменение начальной высоты массивного тела относительно назальной высоты ym (0) массивного тела при t =0.

При малых значениях Vd – скорости перемещения поршня силу Δ Fd (t) будем находить по линейному закону для силы сопротивления жидкого трения:

Δ Fd (t) = – CdVd { t)= – Cd [ Vym (t) – Vys { t)]

В этой формуле знак силы Δ Fd (t) противоположен Vd (t) – скорости измене­ния расстояния от поршня до дна корпуса демпфера.

Здесь также обозначено: Vym (t) = d / dt [ Δ ym (t)] и Vys (t) = d / dt [ Δ ys (t)] – ско­рости изменения вертикальной координаты массивного тела и центра колеса.

Из физических соображений найдем систему, двух дифференци­альных уравнений относительно двух неизвестных функций Δ ym (t) и Vym (t):

1-е дифференциальное уравнение относительно Δ ym (t) и Vym получим из

определения скорости тела:

d / dt [ Δ ym (t)] = Vym (t)                                                                          (1)

2-е дифференциальное уравнение получим из 2-го закона Ньютона.

Произведение массы тела т на его ускорение d / dt [ Vym (t)] равно алгебраи­ческой сумме всех внешних сил, действующих на это тело.

d / dt [ Vym (t)]=(1/ m){ Kpr [ Δ ys (t)- Δ ym (t)]+ Cd [ Vys (t)- Vym (t)]                 (2)

 

Согласно принципу Даламбера, любое движущееся массивное тело находится в состоянии динамического (силового) равновесия, если сила инерции тела равна сумме всех внешних сил, действующих на это тело:

∆Fm(t)= ∆Fpr(t)+Fd(t), где ∆Fm(t) – сила инерции массивного тела, вычисляемая по2-му закону Ньютона:

∆Fm(t)=m*(d/dtVym(t)); Vym(t) –вертикальная составляющая скорости тела;

∆Fpr(t)Kpr*[∆ys(t) –∆ym(t)] – избыточная сила сжатия пружины (закон Гука);

Fd(t)=Cd*[Vys(t) –Vym(t)] – сила сопротивления движению поршня в жидкости демпфера.

Неизвестные функции ∆ym(t) иVym(t)=d/dt∆ym(t)находятся из дифференциального уравнения 2-го порядка:

M*(d²/dt²∆ym(t))=Cd*(Vys(t) – d/dt∆ym(t))+Kpr*(∆ys(t) –∆ym(t))

 

Исходные данные необходимые для расчета динамических характеристик системы(подготовка данных для решения дифференциального уравнения)

m =300                               Масса тела по умолчанию m=300[кг]

X С =1,6          Конечная продольная координата препятствия [м]

Tprep =XС/Vx Tprep =2Время прохождения препятствия колесом [с]

Tkoleb =1                          Период собственных колебаний системы (Tkoleb)

cTau =0,45      Отношение постоянной времени затухания колебаний

                                 (Tau) к периоду собственных колебаний (Tkoleb)

(Tau<Tkoleb).

Tau =cTau* Tkoleb Tau =0,45 Постоянная времени затухания колебаний [с]

Расчет коэффициента демпфирования Cd:  

Cd=2m/Tau             Cd=1333,33 [H*с/м]

Расчет коэффициента упругости пружины Kpr:

                                 Kpr =m*[(2π/ Tkoleb)²+(1/Tau)²] Kpr=13333,33 [H/м]

Собственные колебания массивного тела

                                 fcos 0(t)= e ^{- t / Tau} * cos (2 πt / Tkoleb) – реакция системы на

единичное вертикальное смещение

массивного тела на [1м]

                                 fsin 0(t)= e ^{- t / Tau} * sin (2 πt / Tkoleb) –реакция системы на

                                 единичную вертикальную скорость

массивного тела [1м/c]

Tkoleb=1               Период собственных колебаний [с]

 

[c] t=tn, ht..2* Tkoleb

t=0,0.004..2

Tprep=2         Время прохождения препятствия колесом [с]

Nt =60                      Число расчетных шагов по времени

tn =0                         Начальное значение времени t

tk =2                Конечное значение времени t

                                 шаг по времени: ht=(tk-tn)/Nt; ht=0,004

    С помощью данных уравнений функций fcos 0(t) и fsin 0(t) при t=0,0.004..2составим таблицу зависимостей функций fcos 0(t) и fsin 0(t) от времени t вMicrosoftExcel. С помощью полученных данных таблицы построить графики функций зависимости fcos 0(t) и fsin 0(t) от  времени t.

 

Таблица 6

Значения функций собственных

 колебаний массивного тела

№

t

Fcos0(t)