Математическая модель задачи

Математической моделью задачи называется набор формул, уравнений, систем алгебраических или дифференциальных уравнений, отражающих физи­ческие процессы и законы, использованные в физической модели.

В данной работе эти математические выражения отражают перечисленные выше физические законы.

Этапы выполнения курсовой работы

Работа в целом состоит из следующих взаимно связанных подзадач:

1. Расчет траектории центра жесткого колеса (относительные координаты траектории ΔY с (X) и зависимость от времени Δyc (t) с учетом только формы препятствия, радиуса колеса R и горизонтальной скорости Vx).

2. Расчет сглаженной траектории оси упругого колеса (зависимость от времени Δys (t) и скорость ее изменения Vs (t) = d / dt [ Ays (t)]).

3. Расчет координат Δym (t), вертикальной составляющей скорости Vym (t) мас­сивного тела, а также вертикальной составляющей его ускорения am (t).

4. Исследование кинематических и динамических характеристик системы при изменении одного из ее параметров (по варианту27).

Вся курсовая работа выполнена в 3 этапа. Для выполнения каждого этапа работы использована своя группа исходных данных, а также результаты выпол­нения предыдущих этапов.

На каждом этапе работы часть исходных данных задается непосредствен­но, а другие – вычисляются либо через коэффициенты пропорциональности уже заданных или вычисленных величин, либо по другим формулам.

 

Этап 1

3.1  Расчет координат центра упругого колеса и скорости их изменения по участкам траектории центра жесткого колеса

Исходные данные для расчета кинематических характеристик системы:

R=0.33                              Радиус колеса, [м];

H=0.4    Высота препятствия, [м];

L=4*H; L=1.6          Длина препятствия, [м];

Vx=0.8                     Горизонтальная скорость системы, [м/с];

cLs=0.4; Ls=cLs*R; Ls=0.132    Длина сцепления колеса с опорой, [м];

Ts=Ls; Ts=0.132Эффективное время сглаживания траектории                              центра жесткого колеса, [с];

Xk=1.6  Конечное значение продольной координаты по

    умолчанию [м]

tk=Xk/Vxtk=2 Конечное значение времени наблюдения [с] при

    расчете кинематики системы

Шаг 1. 1. Расчет координаты точек (центра жесткого колеса) при преодолении препятствия относительно его положения при соприкосновении колеса с препятствием

из приложения AutodeskInventor

Рис. 2. Эскиз ожидаемой траектории центра жесткого колеса

1.1.1 Расчет точки координат :    

1) 2) ;  ; 3) 4) 5) По теореме Пифагора

 

Таким образом, координаты точки  ()

 

1.1.2 Расчет точки координат :         

6) По теореме синусов 7) 8)

 

 

Таким образом, координаты точки  ()

 

1.1.3 Расчет точки координат :         

9) 10)

 

 

Таким образом, координаты точки  ()

 

1.1.4 Расчет точки координат :         

11) 12)

 

 

Таким образом, координаты точки  ()

Шаг 1. 2. Расчет уравненийтраектории ∆ Y (x) участков

1.2.1 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

1) 2)

 

 

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 1-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.2 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

Используя метод линейной интерполяции

3) 4)

 

 

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 2-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.3 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

Используя метод линейной интерполяции

5) 6)

 

 

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 3-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.1 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

7) 8)

 

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 1-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x) совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

 

С помощью полученных уравнений (шаг 1.2)траектории движения центра жесткого колеса научастках  составим таблицу в MicrosoftExcel и построим график траектории движения центра жесткого колеса.

Таблица 1

Значения координат

перемещения центра жесткого колеса

№	x	y	№	x	y	№	x	y	№	x	y
1	0	0	16	0,4	-0,161038	31	0,8	-0,36104	46	1,2	-0,16104
2	0,03	-0,001079	17	0,43	-0,174371	32	0,83	-0,347707	47	1,23	-0,147706
3	0,05	-0,004338	18	0,45	-0,187705	33	0,85	-0,334373	48	1,25	-0,134373
4	0,08	-0,009844	19	0,48	-0,201038	34	0,88	-0,32104	49	1,28	-0,121040
5	0,11	-0,017715	20	0,51	-0,214372	35	0,91	-0,307707	50	1,31	-0,107706
6	0,13	-0,028135	21	0,53	-0,227705	36	0,93	-0,294373	51	1,33	-0,094373
7	0,16	-0,041037	22	0,56	-0,241039	37	0,96	-0,28104	52	1,36	-0,08104
8	0,19	-0,05437	23	0,59	-0,254372	38	0,99	-0,267707	53	1,39	-0,067706
9	0,21	-0,067704	24	0,61	-0,267706	39	1,01	-0,254373	54	1,41	-0,054373
10	0,24	-0,081037	25	0,64	-0,281039	40	1,04	-0,24104	55	1,44	-0,04104
11	0,27	-0,094371	26	0,67	-0,294373	41	1,07	-0,227707	56	1,47	-0,025918
12	0,29	-0,107704	27	0,69	-0,307706	42	1,09	-0,214373	57	1,49	-0,016811
13	0,32	-0,121038	28	0,72	-0,32104	43	1,12	-0,20104	58	1,52	-0,009559
14	0,35	-0,134371	29	0,75	-0,334373	44	1,15	-0,187707	59	1,55	-0,004282
15	0,37	-0,147705	30	0,77	-0,347707	45	1,17	-0,174373	60	1,57	-0,001076
									61	1,6	0

Рис. 2. Траектория движения центра жесткого колеса

Вывод. Из графика траектории движения жесткого колеса видно:

1. Траектория более сглаженная и плавная, чем само препятствие.

2. График траектории движения жесткого колеса соответствует реальной траектории движения жесткого колеса.

3. При преодолении препятствия жестким колесом происходит сглаживание острых углов препятствия.

 

 

Шаг 1. 2. Расчет зависимости от времени высоты центра жесткого колеса ∆ yc (t).

    Функция зависимости от времени высоты [м] оси жесткого колеса при любом времени t: ∆yc(t)= ∆Yc(t*Vx)

tn=0(начальное значение времениt) 

tk= 2     (конечное значение времениt)

ht=(tk-tn)/60   (шаг времениt)

ht=0.033333333

tc = tn, ht..tk

    С помощью выведенных (шаг 1.1) уравнений траектории движения центра жесткого колеса на участках A-B, B-Cи C-D и формулы зависимости от времени высоты оси жесткого колеса ∆yc(t)= ∆Yc(t*Vx) при любом времени t составим таблицу в MicrosoftExcel и получим графическое изображение зависимости высоты центра жесткого колеса от времени.

 

Таблица 2

Значения высоты центра жесткого колеса от времени

№	T	y(t*V x)	№	t	y(t*V x)	№	t	y(t*V x)	№	t	y(t*V x)
1	0	0	16	0,5	-0,16104	31	1	-0,36104	46	1,5	-0,16104
2	0,0333	-0,00108	17	0,5333	-0,17437	32	1,0333	-0,34771	47	1,5333	-0,14771
3	0,0666	-0,00434	18	0,5666	-0,1877	33	1,0666	-0,33437	48	1,5666	-0,13437
4	0,1	-0,00984	19	0,6	-0,20104	34	1,1	-0,32104	49	1,6	-0,12104
5	0,1333	-0,01771	20	0,6333	-0,21437	35	1,1333	-0,30771	50	1,6333	-0,10771
6	0,1666	-0,02814	21	0,6666	-0,22771	36	1,1666	-0,29437	51	1,6666	-0,09437
7	0,2	-0,04104	22	0,7	-0,24104	37	1,2	-0,28104	52	1,7	-0,08104
8	0,2333	-0,05437	23	0,7333	-0,25437	38	1,2333	-0,26771	53	1,7333	-0,06771
9	0,2666	-0,0677	24	0,7666	-0,26771	39	1,2666	-0,25437	54	1,7666	-0,05437
10	0,3	-0,08104	25	0,8	-0,28104	40	1,3	-0,24104	55	1,8	-0,04104
11	0,3333	-0,09437	26	0,8333	-0,29437	41	1,3333	-0,22771	56	1,8333	-0,02592
12	0,3666	-0,1077	27	0,8666	-0,30771	42	1,3666	-0,21437	57	1,8666	-0,01681
13	0,4	-0,12104	28	0,9	-0,32104	43	1,4	-0,20104	58	1,9	-0,00956
14	0,4333	-0,13437	29	0,9333	-0,33437	44	1,4333	-0,18771	59	1,9333	-0,00428
15	0,4666	-0,1477	30	0,9666	-0,34771	45	1,4666	-0,17437	60	1,9666	-0,00108
									61	2	0

 

Рис 3. Зависимость высоты центра жесткого колеса от времени

Вывод. из графика зависимость высоты центра жесткого колеса от времени видно:

1. Траектория более растянута по сравнению с траекторией Рис2.

Шаг 1. 3. Расчет траектории центра упругого колеса ∆ ys (t)

График функции Wys(τ),сглаживающей зависимости от времени∆yc(t) – высоты центра упругого колеса (–2*Ts ≤ τ ≤ 0):

   

ПРОВЕРКА нормировки Wys(τ) (вручную)

Наши данные:

Ts=0,132 (эффективное время сглаживания траектории упругими колесами)

 

hτ=Ts/60 hτ=0,0022τn= – 2*TSτn= –0,264

τk=0        τ=τn, τn+hτ.. τk

    Cоставим таблицу в MicrosoftExcel и получим графическое изображение сглаживающей функцииWys(τ).

Таблица 3

Значения сглаживающей функции

№	τ	W ys(τ)	№	τ	W ys(τ)	№	τ	W ys(τ)	№	τ	W ys(τ)
1	-0,264	0	16	-0,198	3,787878	31	-0,132	7,575757	46	-0,066	3,787878
2	-0,2596	0,02075	17	-0,1936	4,183819	32	-0,1276	7,555007	47	-0,0616	3,391937
3	-0,2552	0,082774	18	-0,1892	4,575423	33	-0,1232	7,492983	48	-0,0572	3,000334
4	-0,2508	0,185391	19	-0,1848	4,958397	34	-0,1188	7,390365	49	-0,0528	2,617359
5	-0,2464	0,327479	20	-0,1804	5,328547	35	-0,1144	7,248278	50	-0,0484	2,247209
6	-0,242	0,507479	21	-0,176	5,681818	36	-0,11	7,068278	51	-0,044	1,893939
7	-0,2376	0,723420	22	-0,1716	6,014338	37	-0,1056	6,852337	52	-0,0396	1,561419
8	-0,2332	0,972936	23	-0,1672	6,322464	38	-0,1012	6,602821	53	-0,0352	1,253293
9	-0,2288	1,253293	24	-0,1628	6,602821	39	-0,0968	6,322464	54	-0,0308	0,972936
10	-0,2244	1,561419	25	-0,1584	6,852337	40	-0,0924	6,014338	55	-0,0264	0,723420
11	-0,22	1,893939	26	-0,154	7,068278	41	-0,088	5,681818	56	-0,022	0,507479
12	-0,2156	2,247209	27	-0,1496	7,248278	42	-0,0836	5,328547	57	-0,0176	0,327479
13	-0,2112	2,617359	28	-0,1452	7,390365	43	-0,0792	4,958397	58	-0,0132	0,185391
14	-0,2068	3,000334	29	-0,1408	7,492983	44	-0,0748	4,575423	59	-0,0088	0,082774
15	-0,2024	3,391937	30	-0,1364	7,555007	45	-0,0704	4,183819	60	-0,0044	0,020750
									61	-3E-16	0

Рис. 4.Сглаживающая весовая функцияW ys (τ)

Вывод. На графике видно, что функция Wys(τ) действительно является сглаживающей (сглаживает зависимость высоты центра упругого колеса от времени)

Ts – эффективное время сглаживания траектории упругими колесами).