Нижегородский государственный технический

Нижегородский государственный технический

университет им. Р.Е. Алексеева

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

Тема: Численное и графическое моделирование

и исследование кинематических и динамических

характеристик механической системы

вариант 27

Руководитель

                         Балакина Н.А.

 (подпись)            (фамилия, и.,о.)

«    »                                     2019г.

 (дата)

Студент         Каночкин М.М.

                            (фамилия, и.,о.)

                               А18-ЭТКз

 (подпись)            (группа)

 «» __________________2019г.

 (дата)

Работа защищена «        »             2019г.

c оценкой                           

Зачетная книжка № _________

Н. Новгород

2019 г.

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева АВТОЗАВОДСКАЯ ВЫСШАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ и ТЕХНОЛОГИЙ   Пояснительная записка к курсовой работе по курсу «Информатика» ________________________________________________________ (фамилия, имя, отчество студента)   Кафедра «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» Шифр студента _____________   Дата защиты работы  _________ ____________ 20    г. Дата повторной защиты _______ ____________ 20    г.     Номер _________ и дата _________ регистрации работы на кафедре

Содержание

Введение

1.Постановка задачи

2. Модели механической системы

2.1Физическая модель системы

2.2 Процесс работы и силы, возникающие в системе

2.3 Упрощенная физическая модель всей системы

2.4 Упрощенные физическая и геометрическая модели упругогоколеса

2.5 Физические законы, описывающие процессы в системе

2.6 Математическая модель задачи

3. Этапы выполнения курсовой работы

3.1 Этап 1. Расчет координат центра упругого колеса и скорости их изменения по участкам траектории центра жесткого колеса

3.2 Этап 2. Расчет динамических характеристик механической системы

3.3 Этап 3. Исследование зависимости избыточного ускорения массивного тела от одного из параметров системы

Введение

В курсе «Информатика» изучались следующие разделы:

1. Принципы алгоритмизации и программирования.

2. Элементы численных методов, используемых в инженерных расчетах.

3. Работа пользователя в программных средах MicrosoftOffice, MathCAD, Excel и др. на примерах реализации численных методов.

4. Оформление результатов расчетов в указанных программных продуктах, в редакторе MicrosoftOffice, 3D-САПР AutodeskInventor и др.

В данной курсовой работе на примере упрощенной инженерной задачи о механической системе применены знания, полученные при изучении указанных разделов и умение их применить в конкретных задачах.

Задача, поставленная в данной курсовой работе, не требует каких-либо специальных знаний, кроме уже изученных в курсе физики (законов механики) в математическом анализе:

1. элементарные теоремы геометрии для треугольников и окружностей;

2. законы механики Ньютона;

3. закон Гука для упругой пружины;

4. закон сопротивления движению в вязких жидкостях;

5. сведения о простейших дифференциальных уравнениях.

Постановка задачи

В данной работе рассматривается задача расчета и исследования кинематических идинамических характеристик механической системы, схема которойизображена на рисунке 1.

Рис. 1. Кинематическая схема механической

 системы и траектория центра жесткого колеса

Система содержит:

- массивное жесткое тело массой m;

- жесткую опору и жесткое неподвижное препятствие;

- упругое колесо радиусом R;

- пружинно-демпферный амортизатор, состоящий из параллельно соединен­ных пружины и демпфера; амортизатор жестко соединен с массивным телом и шарнирно соединен с колесом.

Основные допущения:

1. Массы всех частей амортизатора и колеса значительно меньше массы мас­сивного тела, поэтому их массами можно пренебречь.

2. Вся система перемещается по горизонтали с малой постоянной скоростью, а по вертикали – с переменной скоростью без вращения вокруг любых то­чек или осей за счет дополнительных связей, не изображённых на рисунке 1.

3. При малой горизонтальной скорости V х и достаточно большой массе тела т колесо постоянно соприкасается с опорой и/или с препятствием (то есть колесо не подпрыгивает и не летит по воздуху).

4. Начало декартовой системы координат расположим в центре жесткого ко­леса (в точке С) при первом соприкосновении колеса с препятствием.

5. Изменение реакции пружины Δ Fpr (l) линейно зависит от изменения ее дли­ны Δ Lpr (t).

6. Реакция демпфера Fd (t) линейно зависит от скорости перемещения поршня относительно корпуса демпфера.

Модели механической системы

Физическая модель системы

Физической моделью системы называется качественное описание явлений, происходящих при функционировании того или иного механизма, прибора или другого изделия.Физической модели соответствуют:

1. рисунки, эскизы, чертежи, схемы изделия;

2. перечень физических явлений, законов, соответствующих процессу функ­ционирования изделия;

3. описание процесса функционирования изделия, а также физических вели­чин (координаты, скорости, ускорения, силы и др.).

Этап 1

3.1  Расчет координат центра упругого колеса и скорости их изменения по участкам траектории центра жесткого колеса

Исходные данные для расчета кинематических характеристик системы:

R=0.33                              Радиус колеса, [м];

H=0.4    Высота препятствия, [м];

L=4*H; L=1.6          Длина препятствия, [м];

Vx=0.8                     Горизонтальная скорость системы, [м/с];

cLs=0.4; Ls=cLs*R; Ls=0.132    Длина сцепления колеса с опорой, [м];

Ts=Ls; Ts=0.132Эффективное время сглаживания траектории                              центра жесткого колеса, [с];

Xk=1.6  Конечное значение продольной координаты по

    умолчанию [м]

tk=Xk/Vxtk=2 Конечное значение времени наблюдения [с] при

    расчете кинематики системы

Шаг 1. 1. Расчет координаты точек (центра жесткого колеса) при преодолении препятствия относительно его положения при соприкосновении колеса с препятствием

из приложения AutodeskInventor

Рис. 2. Эскиз ожидаемой траектории центра жесткого колеса

1.1.1 Расчет точки координат :    

1) 2) ;  ; 3) 4) 5) По теореме Пифагора

Таким образом, координаты точки  ()

1.1.2 Расчет точки координат :         

6) По теореме синусов 7) 8)

Таким образом, координаты точки  ()

1.1.3 Расчет точки координат :         

9) 10)

Таким образом, координаты точки  ()

1.1.4 Расчет точки координат :         

11) 12)

Таким образом, координаты точки  ()

Шаг 1. 2. Расчет уравненийтраектории ∆ Y (x) участков

1.2.1 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

1) 2)

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 1-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.2 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

Используя метод линейной интерполяции

3) 4)

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 2-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.3 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

Используя метод линейной интерполяции

5) 6)

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 3-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x)совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

1.2.1 Расчет уравнения траектории 1-го участка :

7) 8)

Проверка
начало участка	центр участка	конец участка

Вывод: т.к. результаты расчетов ∆Y(x) на границах 1-го участка совпадают с заданными, а в центре участка значение ∆Y(x) совпадает с чертежом, то функция ∆Y(x) найдена верно.

С помощью полученных уравнений (шаг 1.2)траектории движения центра жесткого колеса научастках  составим таблицу в MicrosoftExcel и построим график траектории движения центра жесткого колеса.

Таблица 1

Значения координат

перемещения центра жесткого колеса

Рис. 2. Траектория движения центра жесткого колеса

Вывод. Из графика траектории движения жесткого колеса видно:

1. Траектория более сглаженная и плавная, чем само препятствие.

2. График траектории движения жесткого колеса соответствует реальной траектории движения жесткого колеса.

3. При преодолении препятствия жестким колесом происходит сглаживание острых углов препятствия.

Шаг 1. 2. Расчет зависимости от времени высоты центра жесткого колеса ∆ yc (t).

    Функция зависимости от времени высоты [м] оси жесткого колеса при любом времени t: ∆yc(t)= ∆Yc(t*Vx)

tn=0(начальное значение времениt) 

tk= 2     (конечное значение времениt)

ht=(tk-tn)/60   (шаг времениt)

ht=0.033333333

tc = tn, ht..tk

    С помощью выведенных (шаг 1.1) уравнений траектории движения центра жесткого колеса на участках A-B, B-Cи C-D и формулы зависимости от времени высоты оси жесткого колеса ∆yc(t)= ∆Yc(t*Vx) при любом времени t составим таблицу в MicrosoftExcel и получим графическое изображение зависимости высоты центра жесткого колеса от времени.

Таблица 2

Значения высоты центра жесткого колеса от времени

Рис 3. Зависимость высоты центра жесткого колеса от времени

Вывод. из графика зависимость высоты центра жесткого колеса от времени видно:

1. Траектория более растянута по сравнению с траекторией Рис2.

Шаг 1. 3. Расчет траектории центра упругого колеса ∆ ys (t)

График функции Wys(τ),сглаживающей зависимости от времени∆yc(t) – высоты центра упругого колеса (–2*Ts ≤ τ ≤ 0):

ПРОВЕРКА нормировки Wys(τ) (вручную)

Наши данные:

Ts=0,132 (эффективное время сглаживания траектории упругими колесами)

hτ=Ts/60 hτ=0,0022τn= – 2*TSτn= –0,264

τk=0        τ=τn, τn+hτ.. τk

    Cоставим таблицу в MicrosoftExcel и получим графическое изображение сглаживающей функцииWys(τ).

Таблица 3

Значения сглаживающей функции

Рис. 4.Сглаживающая весовая функцияW ys (τ)

Вывод. На графике видно, что функция Wys(τ) действительно является сглаживающей (сглаживает зависимость высоты центра упругого колеса от времени)

Ts – эффективное время сглаживания траектории упругими колесами).

Вывод.

1. Сглаживание графика функции Vys(t) действительно происходит благодаря амортизации.

2. Амортизация необходима из-за значительных величин скоростей жесткого колеса.

3. Скорость  упругого колеса запаздывает на время Ts – эффективное время сглаживания(с помощью этого моделируется пневматическая шина).

Этап 2

Механической системы

Согласно принятым допущениям при малых изменениях длины пружины Δ Lpr (t) реакция пружины ( Δ Fpr) находится по линейному закону Гука:

Δ Fpr (t)= Kpr Δ Lpr (t)= Kpr [ Δ ys (t)- Δ ym (t)].

Здесь Кр r – коэффициент восстанавливающей силы упругой пружины;

Δ ys (t) – ранее найденная временная зависимость относительной высоты оси упругого колеса.

Δ ym (t) = ym (t)- ym (0) – изменение начальной высоты массивного тела относительно назальной высоты ym (0) массивного тела при t =0.

При малых значениях Vd – скорости перемещения поршня силу Δ Fd (t) будем находить по линейному закону для силы сопротивления жидкого трения:

Δ Fd (t) = – CdVd { t)= – Cd [ Vym (t) – Vys { t)]

В этой формуле знак силы Δ Fd (t) противоположен Vd (t) – скорости измене­ния расстояния от поршня до дна корпуса демпфера.

Здесь также обозначено: Vym (t) = d / dt [ Δ ym (t)] и Vys (t) = d / dt [ Δ ys (t)] – ско­рости изменения вертикальной координаты массивного тела и центра колеса.

Из физических соображений найдем систему, двух дифференци­альных уравнений относительно двух неизвестных функций Δ ym (t) и Vym (t):

1-е дифференциальное уравнение относительно Δ ym (t) и Vym получим из

определения скорости тела:

d / dt [ Δ ym (t)] = Vym (t)                                                                          (1)

2-е дифференциальное уравнение получим из 2-го закона Ньютона.

Произведение массы тела т на его ускорение d / dt [ Vym (t)] равно алгебраи­ческой сумме всех внешних сил, действующих на это тело.

d / dt [ Vym (t)]=(1/ m){ Kpr [ Δ ys (t)- Δ ym (t)]+ Cd [ Vys (t)- Vym (t)]                 (2)

Согласно принципу Даламбера, любое движущееся массивное тело находится в состоянии динамического (силового) равновесия, если сила инерции тела равна сумме всех внешних сил, действующих на это тело:

∆Fm(t)= ∆Fpr(t)+Fd(t), где ∆Fm(t) – сила инерции массивного тела, вычисляемая по2-му закону Ньютона:

∆Fm(t)=m*(d/dtVym(t)); Vym(t) –вертикальная составляющая скорости тела;

∆Fpr(t)Kpr*[∆ys(t) –∆ym(t)] – избыточная сила сжатия пружины (закон Гука);

Fd(t)=Cd*[Vys(t) –Vym(t)] – сила сопротивления движению поршня в жидкости демпфера.

Неизвестные функции ∆ym(t) иVym(t)=d/dt∆ym(t)находятся из дифференциального уравнения 2-го порядка:

M*(d²/dt²∆ym(t))=Cd*(Vys(t) – d/dt∆ym(t))+Kpr*(∆ys(t) –∆ym(t))

Исходные данные необходимые для расчета динамических характеристик системы(подготовка данных для решения дифференциального уравнения)

m =300                               Масса тела по умолчанию m=300[кг]

X С =1,6          Конечная продольная координата препятствия [м]

Tprep =XС/Vx Tprep =2Время прохождения препятствия колесом [с]

Tkoleb =1                          Период собственных колебаний системы (Tkoleb)

cTau =0,45      Отношение постоянной времени затухания колебаний

                                 (Tau) к периоду собственных колебаний (Tkoleb)

(Tau<Tkoleb).

Tau =cTau* Tkoleb Tau =0,45 Постоянная времени затухания колебаний [с]

Расчет коэффициента демпфирования Cd:  

Cd=2m/Tau             Cd=1333,33 [H*с/м]

Расчет коэффициента упругости пружины Kpr:

                                 Kpr =m*[(2π/ Tkoleb)²+(1/Tau)²] Kpr=13333,33 [H/м]

Собственные колебания массивного тела

                                 fcos 0(t)= e ^{- t / Tau} * cos (2 πt / Tkoleb) – реакция системы на

единичное вертикальное смещение

массивного тела на [1м]

                                 fsin 0(t)= e ^{- t / Tau} * sin (2 πt / Tkoleb) –реакция системы на

                                 единичную вертикальную скорость

массивного тела [1м/c]

Tkoleb=1               Период собственных колебаний [с]

[c] t=tn, ht..2* Tkoleb

t=0,0.004..2

Tprep=2         Время прохождения препятствия колесом [с]

Nt =60                      Число расчетных шагов по времени

tn =0                         Начальное значение времени t

tk =2                Конечное значение времени t

                                 шаг по времени: ht=(tk-tn)/Nt; ht=0,004

    С помощью данных уравнений функций fcos 0(t) и fsin 0(t) при t=0,0.004..2составим таблицу зависимостей функций fcos 0(t) и fsin 0(t) от времени t вMicrosoftExcel. С помощью полученных данных таблицы построить графики функций зависимости fcos 0(t) и fsin 0(t) от  времени t.

Таблица 6

Значения функций собственных

 колебаний массивного тела

Fcos0(t)